《隐函数和反函数微分学(Implict Function and Inverse funtion differentiation)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《隐函数和反函数微分学(Implict Function and Inverse funtion differentiation)（77页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、隱函微分與反函微分隱函微分與反函微分隱函的微分(Implicit Differentiation)?雖然方程式中的x和y並沒 有函關係,但我們將y限制為大於等 於0,?則x和y有函關係且 (如下 圖的圖(b)所示)。222ryx=+22xry=圖1由此函關係,我們可求y對於x, |x|yyx002 02000 yxxrx xxyy= =)()(0000xxxyyy=22 02 000ryxyyxx=+=+但是並是所有的方程式都如此容 地用限制變的範圍以獲得明 確的函關係,進而求取方程式所代 表之曲線上某一點的線。但管 如何我們都可限制變的範圍而使 得變具有一種函關係, 此種用限制方程式中的變範
2、圍 所獲得的函關係我們稱之為隱函 。如下所示,圖2(a)為曲線f(x,y)=0, 我們取 點附近的一段如虛線框框所示的 曲線,則如圖2(b)所示y和x將有函關係 y=y(x),用微分法則我們可求得其微分。),(00yx圖2(a)(b)如上中y對x, |x|r的微分,用微分法則可得022)(222 =+=+ dxdyyxdxdr dxyxd22xrx yx dxdy=1: (a) 求(folium of Descartes) 中的。 (b) 求曲線在點(3,3)的 線。 (c) 在曲線上的何點, 其 線為水平。 解: (a) 用隱微分(隱函微分), 可得xyyx633=+yxyyx633=+xy
3、yx633=+yxyyyx+=+663322yxyyyx+=+22222222xyyxyy=222)2(xyxyy=xyxyy2222=(b)當x=y=3,曲線在點(3,3)的線為 y-3=-1(x-3) 或x+y=6xyyx633=+1)3(233)3(222 = y(c) 當線為水平時, , 故得代入, 可得將上式化簡成, 可解得x=0 或。經由上述的計算, 我們可知在曲線上的點 (0,0)和, 其線為水平。0= y2022222xyxyxyy=xyyx633=+ = +262232 3xxxx3616xx = 3/42=x xyyx633=+ )2 ,2(3/53/42: 求中y對x的微
4、 分。解: 將邊同對x微 分。13432=xyyxdxdy13432=xyyx223348xdxdy dxdyxxy=+xyxdxdyx83)34(22=348322=xxyx dxdy3: 求的隱微分。 解:10432=+yxydxdy0833=+dxdyydxdyxydxd dxyxyd10)43(2 =+yxy dxdyydxdyyx8333)83(+=+4: 求的隱微分。 解:9532+=+xyxdxdy11522=+dxdyyxdxxd dxyxd)9()5(32+=+21521 yx dxdy=5: 求的隱微分。 解:010423=+yyttdtdy0)10(423 =+ dtyy
5、ttd04023322=+dtdyydtdyttyttytytdtdy23)40(232=3224023 yttyt dtdy =6: 求曲線上通過點 (0,1)的線。 解:123=+xyxyy0)(23 =+ dxxyxyyd0)(2322=+dxdyxydxdyxyydxdyyyyxxyydxdy=+22)23(xxyyyy dxdy +=2322將(0,1)代入上式,得曲線上通過點(0,1)的線斜為,故 線為123=+xyxyy0=m1)(01=yxy7: 方程式xy=c, c0代表一組雙曲 線。方程式, k0 代表另 一組雙曲線, 其漸進線為y=x。驗證這 組雙曲線互相垂直, 亦即其交
6、點的 線互相垂直。 解: 將方程式xy=c做隱微分, 可得kyx=22xy dxdyydxdyx=+0將方程式做隱微分, 可得由於故組雙曲線交點的線互相垂直。kyx=22yx dxdy dxdyyx=0221=yx xy8: 用隱微分驗證橢圓在點的線為12222 =+by ax),(00yx120 20=+byy axx02222=+byy ax) 1 (2222 = +by ax02222=+yyaxbyaxby22 =解:),(00yx將點代入上式, 可得橢圓過點 的線斜為線則為0202),(00|yaxbymyx=),(00yx)(0 02020xxyaxbyy=2 022 02 02
7、022 02 022 02 02yaxbxxbyyaxbxxbyayya+=+=將上式邊同除以,可得22ba22 0 22 0 20 20 by ax byy axx+=+120 20=+byy axx9: 求雙曲線在點的線方程式。解: 用隱微分12222 =by ax),(00yx) 1 (2222 = by ax02222=byy ax02222=yyaxbyaxby22 =將點代入上式, 可得雙曲線過點的線斜為),(00yx12222 =by ax),(00yx0202),(00|yaxbymyx=線則為將上式邊同除以,可得)(0 02020xxyaxbyy=2 022 02 02 02
8、2 02 022 02 02yaxbxxbyyaxbxxbyayya=22ba22 0 22 0 20 20 by ax byy axx=120 20=byy axx10: 求橢圓過 點(1,1)的線。 解: 用隱微分, 可得322=+yxyxyxyxyyxyyxyyyxyx222)2(022+=+=+將點(1,1)代入上式, 可得橢圓過點(1,1)的線斜為線則為133 ) 1 (21 1) 1 (2|)1 , 1(=+= ym2) 1( 11 =+= yxxy322=+yxyx11: 求拋物線 過點(1,2)的線。 解: 用隱微分, 可得2222=+xyxyxyxyxyyxyyxyyyxyx
9、22122122)22(012222=+將點(1,2)代入上式, 可得拋物線過點(1,2)的線斜為線則為27 27 )2(2) 1 (21)2(2) 1 (2|)2, 1(= ym2222=+xyxyx327) 1(272=yxxy12: , 且 f (1)=2, 求。 解: 用隱微分, 可得0)()(132=+xfxxf ) 1 (f 223322223)(31)(2)()(2)()(31 (0)()(3)(2)(xfxxfxxfxfxxfxfxxfxfxxfxxf+=+=+將f(1)=2代入上式, 可得223)1 () 1 ( 31)1 ()1 (2) 1 (fff+=223)2() 1
10、( 31)2)(1 (2 +=1316=13: 求的隱微分。 解: 04223=+yyxxdtdyyxxyxyxyxyyxyyyxxyx82323)8(0823222222+=+=+14: 驗證曲線上任 一點的線, 其x-截距和y-截距之和 等於c。 解: 設為曲線上 的一點。cyx=+xyyyy x=+0221),(00yxcyx=+將點代入上式, 可得曲線過點的線斜 為線則為),(00yxcyx=+),(00yx0000),(|xy yxym=)(0000xxyyxy=x-截距為y-截距為00000000)0(yxyxyyxyxy+=00000000)(0xyxxxyyxxy+=x-截距+
11、y-截距等於ccyxyyxxyxxyxy yx=+=+=+22 0000000000)()(2000015: 用隱微分驗證以O為原點的圓, 此圓上的任一點P, 其線垂直半徑 OP。 解: 設O對應直角座標的原點(0,0), 而 此圓的半徑為r, 其所對應的方程式 為。 由於幾何性質受座 標選取的影響, 故我們可設P點的座標 為(x,y),且x0, y0 。用隱函微 分, 可得222ryx=+yx dxdydxdyyxdxdr dxyxd=+=+022)(222線段OP的斜為, 而線斜為, 者的乘積為 故得証。xyyx dxdy=1=xy yx16: 求的隱微分。 解: 221yxyx+=+ d
12、tdy)41 (141)2(2)2(21 212221222122222222yxyxyxxyxyyxyyxyxyxxyyyxyxyyxxyyxy+=+= += +17: 用隱微分求曲線上點的線。 解: 22222)22(xyxyx+=+ ), 0(21+=+=+=+2232222222488) 144)(22(222)22()(xxyxyyxyyxxyxyyxdxxyxd dxyxdxyxyxyxy+222222)22(4xyyyxyyxxyxyyxxyxyxyyyxy48826882688)488(322223222332+=+=+將點代入上式可得線斜為故線為), 0(211)( 8)(
13、2|3 21 212 21), 0(21=ym012021=+=yxxy18: 用隱微分求曲線上點的線。 解: )(25)(222222yxyx=+ ) 1 , 3()22(25)22)(4)(25)(22222222yyxyyxyxdxyxd dxyxd=+=+322323323223442544254425)4425(2525)44(44yxyyxyxxyxyxxyyxyyyyxyyyxxyx+=+=+將點(3,1)代入上式可得線斜為4145 ) 1 ( 4) 1)(3( 4) 1 (25 ) 1)(3( 4) 3( 4) 3(25|3223) 1 , 3(=+=ym)(25)(22222
14、2yxyx=+曲線過點(3,1)的 線為1764145)3(41451=+=yxxy19: 用隱微分求曲線 上點的線。 解:將點代入上式, 可得曲線 過點的線 斜為43/23/2=+ yx) 1 , 33(33/13/1032 32xyyyyx=+) 1 , 33(43/23/2=+ yx) 1 , 33(線則為3131| 32/33 331 )1 ,33(=ym343)33(311=+=yxxy20: 求的隱微分。 解: yxyxy43251+=+dtdy4223433434224322343254254)3(4325xyxxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyxxyx=+=+21: 求的隱微分。 解: yxxy21+= dtdy)2(4)2(2)(2222222222xyxxyxyxyyxyxyyxxyxxyyxyyxxyxyxxyxyyxy= +=+22: 用隱微分求曲線上點的線。 解: )5()4(2222=xxyy )2, 0(yyxxyxxyyyxx
