第二章解析函数

《第二章解析函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章解析函数（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章 解析函数 第二章 解析函数 1. 解析函数的概念 2. 函数解析的充要条件 3. 初等函数 4. 第二章小结与习题 z 0z 0 解析函数的概念 复变函数的导数与微分 1 解析函数的概念 2 小结与思考 3 一、复变函数的导数与微分 定义 , )( 00的范围不出点点中的一为定义于区域设函数,)( . )( 00的导数在这个极限值称为可导在那末就称 ()(l i 00000 记作, )()(l i m 000 存在如果极限 z 1. 导数的定义 在定义中应注意 : .)0(00 的方式是任意的即 ()(,0000都趋于同一个数比值时内以任意方式趋于在区域即. )( , )( 可导在区域

2、内就称我们内处处可导在区域如果函数) ( )l ) ( ) l ) ( )l im l ( ) 0z z f zf z z f z z z f zz f 解： 例 1 0()f z z若 函 在可导， 试证 f(z)在 结论： 函数在一点可导必在该点连续，反之不成立。 例 2 .)( 2的导数求 )()(0解 : 220)(l i m)2( )( 2 例 3 是否可导？问 )( )()(2)(2)(l i z x z设 沿 着 平 行 于 轴 的 直 线 趋 向 于z 0y ix y i 2l i 1 z 0y，轴的直线趋向于沿着平行于设 02l i 22l i 2. 求导法则 : 由于复变函

3、数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致，并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样，因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来 , 且证明方法也是相同的 . 求导公式与法则 : . ,0)()1( 为复常数其中 .,)()2( 1 为正整数其中 ).()()()()3( ).()()()()()()4( )0)(.)( )()()()()( )()5( 2 )( ).()()()6( 其中0)( ,)()( ,)(1)()7(且函数两个互为反函数的单值是与其中3. 微分 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致 . .)( )( ,)(,

4、0)(,)()()()(,)( 000000线性部分的的改变量是函数小的高阶无穷是式中则可导在设函数.)(, )( )(000记作的微分在点称为函数定义 )( , 00可微在则称函数的微分存在如果函数在 , )( 时当 zw )( 0 ,z,d)()(d 00 0 0即.)( 00 可微是等价的可导与在在函数 .)(,)(内可微区域在则称内处处可微区域在如果函数析函数的概念 1. 解析函数的定义 . )( ,)(000解析在那末称导的邻域内处处可及在如果函数()( .)(,)(全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数奇点的定义 ( ) ( )f z

5、 f 为 点0在 , 那 末 函 不 解 析 的 奇 函数在 区域内解析 与在 区域内可导 是 等价 的 . 但是，函数在 一点处解析 与在 一点处可导 是 不等价 的概念 . 即函数在一点处可导， 不一定在该点处解析 . 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多 . 例 4 22( ) , ( ) 2 ( ) .f z z g z x y ih z z 研 究 函 数 和的 解 析 性解 : 由本节例 2和例 3知 : ; )( 2 在复平面内是解析的; 2)( 处处不解析, )( 2 的解析性下面讨论 )()( 00 2020 0000 )( ,00 ,0)1( 0 z )(00 z

6、)2( 0 zzz 1111由于 限 不存在 。 000( ) ( )l zh z z h . , 0 )( 2析它在复平面内处处不解根据定义不可导而在其他点都处可导仅在因此 y=例 5 解析性研究函数 解 : , 0 1 处处可导在复平面内除因为 2且, 0 外处处解析在复平面内除所以 0 为它的奇点 . )()( )( )1(内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域 )( , )( , . )( , )( )2(内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数以上定理的证明 , 可利用求导法则 . 根据定理可

7、知 : (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的 . .,)()()2(它的奇点使分母为零的点是的零的点的区域内是解析在不含分母为任何一个有理分式函数结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念；掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法 . 注意 ： 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与 z 趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多 . 思考题 ? )( 00 解析有无区别可导与在在点复变函数 答案： , )( 00 可导解析必在在点 0 )( 02 处可导在例如 0 0 处不解析

8、但在 复变函数 w f(z)的导数定义与实一元函数 y f(x)的导数定义在要求上有什么不同？ 3. 复变函数的连续、可导 (可微 )与解析之间有什么关系 ？ 第二节 函数解析的充要条件 主要定理 1 典型例题 2 小结与思考 3 一、主要定理 定理 , , ),( ),( ),( :)( ,),(),()( 点满足柯西黎曼方程并且在该可微在点与件是可导的充要条内一点在则内定义在区域设函数证明 : (1) 必要性 . , )(, ),(),()( 可导内一点在且内定义在区域设0, ()()()( 有,0)(0 其中,)()( 令,)( , )( 21 所以)( )( )( 21 i )( )()(1221, 21 ,0)(l i m 0 因为 100l i m 00 , ),( ),( ),( 可微在点与由此可知 , 且满足方程(2) 充分性 . 由于 u(x,y)与 v(x,y)在点 (x,y)可微 , 21 于是, 43 )4,3,2,1( ,0l i m 00中.)()( 4231 )()( ,(),(),(),(,因为： 因此整理并由柯西 )()( +()( 4231 )( )()( 4231 z ()( )()( 4231 ,1,1 )()(l i m 42310 )(l i m)( 0所以 . ),(),()( 可导在点即函数