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1、 泰勒公式的证明及其应用 0泰勒公式的证明及其应用泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业 胡心愿 摘摘 要要 泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. 关键词关键词 泰勒公式；不等式；应用；Proof of Taylors Formula and Its ApplicationMathematics and Appliced Math
2、ematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylors Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylors Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylors Formula in
3、some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylors Formula of the function of many variables and its application.Key wo
4、rds:Taylors Formula;inequality;application泰勒公式的证明及其应用 1目目 录录1 泰勒公式.11.1 泰勒定理的证明过程.12 余项估计.22.1 泰勒中值定理.22.2 拉格朗日余项.32.3 柯西余项.62.4 积分余项.73 泰勒公式的应用.93.1 利用泰勒公式证明不等式.93.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用.93.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用.103.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限.113.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点.123.4 判断级数的敛散性.143.5 利用泰勒公式求行列式的值.154
5、多元函数的泰勒公式.164.1 二元函数泰勒公式的证明.174.2 二元函数泰勒公式的应用.18结束语.19参考文献.19致谢.20泰勒公式的证明及其应用 0泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项.1 1 泰勒定理泰勒定理 若函数在处存在阶导数，则，有 xf0xn 0xUx n nxxxTxf01L其中， nnnxxnxfxxxfxxxfxfxT002 00 000! 2 L，即是比的高阶无穷小.式称为在 n nxxxR00xx xRnnxx01 xf（展开
6、）的泰勒公式.0x1.1 泰勒定理的证明过程由高阶无穷小的定义知，若要证明，只需要证明n nxxxR0 0limlim0000nnxxnnxxxxxxfxxxR因为这是的待定型，可以应用次的洛必达法则来证明.001n xxfxRnn nn xxnxfxxxfxxxfxfxf002 00 00 0! 2! 1L 1 00 00 0!1! 1nnnxxnxfxxxfxfxfxRL 2 00 00 0!2! 1nnnxxnxfxxxfxfxfxRLLL 0010111 ! 1xxxfxfxfxRn nnn n泰勒公式的证明及其应用 1因为当时，以及（） 0xx xRn xRnL xRn n1kxx0
7、k都是无穷小,所以由洛必达法则，有，L 2 01 001limlimlim000nnxxnnxxnxxxxnnxRxxnxRxxxRn 01!lim0xxnxRn nxx将带入上式得 0010111 ! 1xxxfxfxfxRn nnn n， 0!1 !1limlim00 0011000 xfxfnxfxxxfxf nxxxRnnnnnxxnnxx因此，可以得到 .n nxxxR02 2 余项估计余项估计泰勒定理中给出的余项称为佩亚诺余项.佩亚诺余项n nxxxR0只是给出来余项的定性描述，它不能估算余项的数值.还需要进一步nxx0xRn的进行定量描述.2.1 泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值
8、定理1 若函数在内存在阶导数，函数 xf 0xU1n 0xUxo 在以与为端点的闭区间连续，在其开区间可导，且，则与之间tGx0xI0 tGx0x至少存在一点，使 L 2 00 000! 2xxxfxxxfxfxf GxGxxGnfxxnxfnn nn 0100 !其中. GxGxxGnfxRnnn01!证明证明 的泰勒多项式 xf泰勒公式的证明及其应用 2. nnnxxnxfxxxfxxxfxfx002 00 000! 2 L我们记,则 nn txntftxtftxtftftF ! 22LL 2 ! 2txtftxtftxtftftftF. nn nn nn txntftxntftxntf
9、!111 1可以看出函数与在闭区间连续，在其开区间可导，tFtGI0 tG且可以看出. xfxF应用柯西中值定理有：与之间至少存在一点，使 x0x L 2 00 000! 2xxxfxxxfxfxf, GxGxxGnfxxnxfnn nn 0100 !其中. GxGxxGnfxRnnn01!2.2 拉格朗日余项若函数在内为存在阶的连续导数，则有f 0xU1n 0xUxo xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 002 00 000! 2L 2LL称为拉格朗日余项，其中在与之间，称式为 1 01!1 nnnxxnfxRx0x 2在的带拉格朗日余项的泰勒公式. xf0x当时，式变成00x 2泰勒公式的证明及其应用 3,
