时间序列第一章

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1、1第一章第一章 时间序列计量经济学模型的理论与方法时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节 时间序列的平稳性及其检验第二节 随机时间序列模型的识别和估计第三节 协整分析与误差修正模型1.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： 时间序列数据（time-series data)； 截面数据(cross-sectional data) 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)时

2、间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 数据非平稳，大样本下的统计推断基础“一致性”要求被破怀。 经典回归分析的假设之一：解释变量 X 是非随机变量 放宽该假设：X 是随机变量，则需进一步要求：(1)X 与随机扰动项 不相关Cov(X,)=0(2) 依概率收敛：第（1）条是 OLS 估计的需要 第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性： 注意注意：在双变量模型中：因此：如果 X 是非平稳数据（如表现出向上的趋势） ，则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断

3、也就遇到麻烦。 数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”问题问题表现在：两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的 R2)：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的） ，即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。在现实经济生活中：nXXi/)(2QnXXPi n)/)(2lim nxnuxxuxiiiiii / 22QnxPnuxPPiiin0 /lim/limlim22情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型

4、进行分析，一般不会得到有意义的结果。 时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起 来的全新的计量经济学方法论。 时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。 假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列Xt（t=1, 2, ）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：1）均值 E(Xt)= 是与时间 t 无关的常数；2）方差 Var(Xt)=2

5、是与时间 t 无关的常数；3）协方差 Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔 k 有关，与时间 t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process） 。 例例1.1.1一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：Xt=t ， tN(0,2) 该序列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise） 。由于 Xt 具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。例例1.1.2另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk） ，该序列

6、由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+t 这里， t 是一个白噪声。 容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设 Xt 的初值为 X0，则易知：X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+t由于 X0 为常数，t 是一个白噪声，因此 Var(Xt)=t2即 Xt 的方差与时间 t 有关而非常数，它是一非平稳序列。 然而，对 X 取一阶差分（first difference）:Xt=Xt-Xt-1=t 由于 t 是一个白噪声，则序列Xt是平稳的。 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序

7、列。 事实上，随机游走过程是下面我们称之为 1 阶自回归 AR(1)过程的特例Xt=Xt-1+t 不难验证:1)|1 时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升(1)或持续下降(0，样本自相关系数近似地服从以 0 为均 值，1/n 为方差的正态分布，其中 n 为样本数。也可检验对所有 k0，自相关系数都为 0 的联合假设，这可通过如下 QLB 统计量进行： mkk LBknrnnQ 12 )2(该统计量近似地服从自由度为 m 的 2 分布（m 为滞后长度） 。因此:如果计算的 Q 值大于显著性水平为 的临界值，则有 1- 的把握拒绝所有 k(k0)同时为 0 的 假设。例例1.1.3

8、: 表 1.1.1 序列 Random1 是通过一随机过程（随机函数）生成的有 19 个样本的随机时间序列。 表表 9 9. .1 1. .1 1 一一个个纯纯随随机机序序列列与与随随机机游游走走序序列列的的检检验验 序号 Random1 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.

9、455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153

10、-0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -

11、0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易验证：该样本序列的均值为 0，方差为 0.0789。 从图形看：它在其样本均值 0 附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到 0，随后在 0 附近波动且逐渐 收敛于 0。5（a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012

12、141618RANDOM1AC由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。 根据 Bartlett 的理论：kN(0,1/19)因此任一 rk(k0)的 95%的置信区间都将是4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ可以看出：k0 时，rk 的值确实落在了该区间内，因此可以接受 k(k0)为 0 的假设。同样地，从 QLB 统计量的计算值看，滞后 17 期的计算值为 26.38，未超过 5%显著性水平的临界值 27.58，因此,可以接受所有的自相关系数 k(k0)都为 0 的假设。因此，该随机过程是一

13、个平稳过程。 序列 Random2 是由一随机游走过程Xt=Xt-1+t生成的一随机游走时间序列样本。 其中，第 0 项取值为 0， t 是由 Random1 表示的白噪声。（a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到 0，但随着 时间的推移，则在 0 附近波动且呈发散趋势 样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间-0.4497, 0.4497之外，因此在

14、 5%的显著性水平上拒绝 1 的 真值为 0 的假设。该随机游走序列是非平稳的。6例例 9 9. .1 1. .4 4 检验中国支出法 GDP 时间序列的平稳性。表表 9 9. .1 1. .2 2 1 19 97 78 8 2 20 00 00 0 年年中中国国支支出出法法G GD DP P（单单位位：亿亿元元）年份GDP年份GDP年份GDP 19783605.6198610132.8199446690.7 19794073.9198711784199558510.5 19804551.3198814704199668330.4 19814901.4198916466199774894.2

15、19825489.2199018319.5199879003.3 19836076.3199121280.4199982673.1 19847164.4199225863.6200089112.5 19858792.1199334500.6图图 9 9. .1 1. .5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0 年年中中国国 G GD DP P 时时间间序序列列及及其其样样本本自自相相关关图图 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810121416182022GDPACF020000400006000080000100000788082848688909294969800GDP图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断是非平稳的。 样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的非平稳性。 从滞后 18 期的 QLB 统计量看：QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后 1 期之后的值全部为 0 的假设。结论结论: 19782