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1、- 1 -浅论圆的方程及有关问题向向 平平【摘要摘要】在高中的数学教学阶段中，由人民教育出版社中学室偏著的全日制普通高级中学教 科书，高二数学第二册（上） （必修）本中第七章，直线和圆的方程第 7、6 节的圆的方程一 节中有许多关于圆，圆与直线及圆与圆等有关方面的问题、现就这几方面，笔者结合自己多年的 教学实际，总结了一些教法感悟。 圆及有关问题也是人们在生产和生活中经常遇到的问题，需我们去解决，它是属于数学中的 解析几何的问题、需要弄清以下几个方面。 【关键词关键词】圆 直线 切线 方程一、圆的方程一、圆的方程 （一）（一）正确理解圆的定义及标准方程 我们知道平面内与定点距离等于定长的点的集
2、合（轨迹）叫圆其中定点叫圆心、 定长就是半径。 在解析几何中圆的方程有两种形式 标准方程：(xa)2+(yb) 2 =R2 其中圆心为（a、b）半径为 R 例：求以 c（1、3）为圆心，并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 分析：本题告诉了圆心坐标，用点到直线距离公式，先求出半径，然后代 A 圆 的标准方程即可。 解：因为 c 与直线 3x4y70 相切 所以半径 r 等于圆心到这条直线的距离。 由点到直线的距离公式得22|316 53( 4)r 因此所求的圆的方程为：(x-1) 2 + (y-3) 2 =256 25 (二)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2 +E2
3、-4F0)，其中圆心为（、）,半径为在这两种形式中，标准方程直接反映了2D 2E224 2DEFr圆心和半径，若已知圆心和半径写成这种形式比较容易，而圆的一般方程在一部分 应用中比较简单，但应注意，一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件为： D2 +E2 -4F0 例：求过三点 0(0、0) M1(1、1) M2(4、2)的圆的方程，并求这个圆的半径 和圆心坐标。- 2 -分析：本题没有直接给出圆心和半径，故用一般方程只需求出 D、E、F 这三个 待定系数就可以了。 解：设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0 用待定系数法，根据所给条件来确 定 D、E、F，因为 0、
4、M1、 M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标 代入上面的方程，得到关于 D、E、F 的三元一次方程组0 20 42200F DEF DEF 解这个方程组0 8 6F D E 于是得到所求圆的方程 x2 + y2 -8x + 6y = 0所求圆的半径221452rDEF圆心坐标为（4、3） 二、直线与圆二、直线与圆 直线和圆的位置关系，制定直线和圆的位置关系主要有两种方法，方法：1.是把 圆的方程和直线的方程联系成方程组，利用判别式来讨论位置关系000 直线和园相交直线和园相切直线和园相离方法二是把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较drdrdr 直线和园相交直线和园相
5、切直线和园相离这两种制定方法中，方法二比方法一更为方便，因而更为常用。 直线与圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程及切线等方面的问题，必须 正确理解和运用圆与圆的切线的有关性质，a.切线与过切点的半径互相垂直，因此两 直线的斜率均存在时，斜率之积为1；b.圆心到切线的距离等于圆的半径;c.由切线 与圆有且只有一个公共点，因此将切线的方程代入圆的方程化简所得的一元二次方 程判别式为 0。 （1）求圆的切线方程： 已知切点求圆的切线方程 例：已知，圆的方程为 x 2 + y2 = r2 ，求经过圆上一点 M(x0、y0)的切线方程 解：设切成的斜率为 K，半径 M 的斜率为 K1- 3 -则有 1
6、1kk0 1 0ykx00xky 故经过点 M 的切线方程为：0 00 0()xyyxxy 整理得：22 0000x xy yxy点 M（x0、y0）在圆上 的所求圆的切线方程为：222 00xyr2 00x xy yr点评：圆心在原点、半径为 r 的圆上一点的切线方程为：，故要求此类2 00x xy yr切线方程只需将 x0、y 0、r 0的值代入公式即可。 已知圆外一点求圆的切线方程 例：求经过点(1、7)与圆 x 2 + y2 = 25 相切的切线方程。 分析：点（1，-7）代入圆的方程有 1+(7)2 25，因此点(1、7)在已知圆外， 过圆外一点与圆相切的切线方程求法有三种：方法一：
7、设切线的斜率为 K，由点斜 式得： Y+7K(x-1) 即 y=K(x-1)-7 将代入圆的方程得 x2 +k(x-1)-7 2 = 25 整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0 由此方程解出 k，再代回可得切线方程，从过程看利用此法求切线方程，过程 冗长，计算书写量大而繁杂，容易出现错误，通常情况下不采用。 解法二，设所求切线斜率为 k 所求直线方程为：y+7=k(x-1) 即 kx-y-k-7=0 解得 或 2|007|5 1kk 4 3k 3 4k 切线议程为：4x-3y-25=0 或 3x+4y+25=0 方法三：设切点为(x0、y0 ) 则此切线方程为：
8、 x0x+y0 y=25 将(1、7)代入切线方程得 x0 - 7y0=25由 解得 或 0022 0072525xyxy0043xy 0034xy 故所求切线方程为：4x-3y-25=0 或 3x+4y+25=0 已知切线的斜率，求圆的切线方程。 例：已知圆的方程为：x2 + y2 =1，求斜率为 1 的圆的切线方程- 4 -方法一：设切线方程为：y=x+b 将其代入圆 x2 + y2 =1，得 x2 + (x+b)2 =1，即 2x2 +2bx+b2 -10) 由直线与圆相切有4 b2 8b2 +8=02b所求切线方程为 2yx方法二：设切线方程为：y=x+b由直线与圆相切得|0 1 0
9、( 1)|12b 故 所求切线方程为：2b2yx方法三：设切点为(x0、y0) 又 22 001xy001y x由、解得： 或 002 2 2 2xy 002 2 2 2xy 圆的切线方程为：2yx已知直线在 y 轴上的截距，求圆的切线方程。例，已知圆的方程为：x2 + y2 =1，求在 y 轴上的截距为的切线方程。2方法一：设切线的斜率为 k，则圆的切线方程为 y=kx+ 将 y=kx+代入圆22的方程有 x2 + (kx+)2 = 1 即(k2 +1)x2 +2kx+1=0,由8k2 -4k2 -4 =0 得 k=1)即22圆的切线方程为：y=x+2方法二：设切线方程为 y=kx+2直线与
10、圆相切 k=1 2|01 021 1kk 即圆的切线方程为 y=x+2- 5 -方法三：设切点为 M(x0、y0)，则切线方程为： x0x+y0y=1切线在 y 轴上的切距为2 x=0 012yy02 2y 而 22 001xy02 2x 则切线方程为 y=x+2综上所述，求切线方程一般有三种方法：一是设切点，用切线公式法，二是设 切线斜率，用判别式法，三是设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆的半径来求， 一般地，过圆外一点求圆的两切线和已知切距求切线方程的上述后两种方法，应注 意斜率不存在的情况。 2.求圆的方程 例：求圆的圆心在直线 y=-4x 上，并且与直线 a：x+y10 相切， 求切于
11、点 p(3、-2)的圆的方程。 解：求圆的方程存在下列两种思路 思路 1：运用方程观点解决，使用待定系数法，设所求圆的方程为(x-a) 2 +(y-b) 2 = r2 则依题设有解方程组得 2224(3)( 2) |1| 2baabr abr 412 2bar 所求圆为：(x-1) 2 +(y+4) 2 = 8 思路 2：充分揭示几何性质，运用分析的方法解决，由于圆心在直线 y=-4x 上， 又在过切点(3、-2)与切线 x+y=1 垂直的直线 y+2=(x-3)即 x-y-5=0 上 解方程组 圆心为(1、4)，于是5 4xy yx 所求圆为(x-1) 2 +(y+4) 2 = 822(1
12、3)( 42)2 2r 评析：求圆的方程中融入几何性质的分析运用，有时能大大地减少运算量。 3.求轨迹 例：已知直角坐标平面上点 Q(2、0)和圆 C: x 2 +y 2 = 1 动点 M 与圆 C 的切线长与MQ的比等于常数 ，求动点 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线。- 6 -解：解此题的关键是求切线长，其中用平面几何的方法最简单，如左图，设切点 为 N，动点为 M(x、y)，则2222|1MNMooNxy又 依题没有22|(2)MNxy（0）22221(2)xyxy (2 -1)(x2 + y2)-42x+(1+42 ) = 0当1 时，轨道为直线5 4x 当时，轨迹为圆122 22
13、22221 3()1(1)xy 这时圆心为(、0),半径为222 1 221 3 |1| 4、求两切线间夹角 例：求由点 P(5、-2)向圆 x2 + y2 =9 所引两条切线间的夹角。 解法 1，设由 P(5、-2)向圆所引切线的方程为： y+2=k(x-5) 即 kx-y-(2+5k)=0 圆心到直线等于于圆的半径即 16k2 + 20k-5= 0 22|00(25 )3 ( 1)kkk 、方程的两根 125 16k k 125 4kk 设两切线所夹锐角为 ,则 2 1212211212()412|51|1|11kkk kkktomk kk k12 5 11arctom解法：如右图，设 A
14、、B，22|5( 2)92 5pA |0|3 |2 5AtompA设 则 Apb2- 7 -2212 52111tomtomtomtom12511arctam5.求字母参数取值范围 例：已知圆的方程为 x2+ y2+ ax+ 2y+ a2=0，一定点为 A(1、2)，要使过定点 (1、2)，作圆的切线有两条，求 a 的取值范围。解：将圆的方程配方有：，圆心 C 的坐标为()，半2 2243()(1)24aaxy12a、径,条件 4- 3a2 0，地点 A(1、2)所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，243 4ar|AC|r即 化简得 a2 + a + 9 02 243(1)(2 1)24aa由 解之得 2243090aaa 2 32 3 33aar 2 32 3 33a）2 3 2 3(33a 、直线与圆相交 一条直线与圆相交可以求相交弦长 例：已知圆的方程为：x2 + y2 =9,直线 y=x+1 与圆相交于 A、B，求相交弦的长。分析：本题可先求圆心到直线的距离，然后根据垂径定理用勾股定理即可求得。解：圆的方程为 x2 + y2 =9 圆心 o(o、o)，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离|0 1 ( 1) 0212d ，所切弦长为2| 2 3
