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1、用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤（833200）新疆奎屯市第一高级中学）新疆奎屯市第一高级中学 特级教师特级教师 王新敞王新敞 极值是一个局部概念奎屯王新敞新疆 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小奎屯王新敞新疆 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小奎屯王新敞新疆 函数的极值不是唯一的奎屯王新敞新疆 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个奎屯王新敞新疆 极大值与极小值之间无确定的大小关系奎屯王新敞新疆 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能
2、成为极值点奎屯王新敞新疆 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点奎屯王新敞新疆用导数判别 f(x0)是极大、极小值的思路: 若满足，且在的两侧0x0)(0 xf0x的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满)(xf0x)(xf)(0xf)(xf 0x足“左正右负” ，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足0x)(xf)(0xf)(xf 0x“左负右正” ，则是的极小值点，是极小值奎屯王新敞新疆0x)(xf)(0xf求函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 f(x) 奎屯王新敞新疆 (2)求方程 f(x)=0 的根奎屯王新敞新疆 (3
3、)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成 表格.检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都 为负，则 f(x)在这个根处无极值奎屯王新敞新疆在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值；在开区间ba,)(xfba,内连续的函数不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的( , )a b)(xf函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没
4、有一个奎屯王新敞新疆利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与)(xf( , )a b)(xf、比较得出函数在上的最值奎屯王新敞新疆)(af)(bf)(xfba,例例 1 求列函数的极值：（1）；（2）22)2() 1(xxy2122xxy解：（1） 2/22)2)(75)(1()(,)2() 1()(xxxxfxxxfQ令，得驻点0)(/xf2,57, 1321xxxx) 1 ,(1)57, 1 (57)2 ,57(2), 2( )(/xf+0-0+0+)(xf极大极小是函数的极大值；是函数的极小值.0) 1 ( f3125108)57(f（2） 22222 / 2)1 ()1)(
5、1 (2 )1 (22)1 (2)(, 212)(xxx xxxxxfxxxfQ令，得驻点0)(/xf121,1xx x) 1,(-1) 1 , 1(1), 1 ( )(/xf-0+0-)(xf极大极小当时，极小=-3；当时，极大=-1 值。1xf1xf例例 2 设为自然对数的底，a 为常数且） ，eexaxxfx() 1()(2Rxa , 0取极小值时，求 x 的值.)(xf解：) 1() 1() 12()(2xxexaxeaxxf)2)(1(xaxez令210)(或axxf（1），由表02121aa即当x（，2 ）2)1, 2(aa1),1(af(x)+00+f（x）极大值极小值取极小值.
6、)(,1xfax时（2）无极值.0)2(21)(,21212xexfaax时即当（3）时，由表2121aa即当x（，a1）a1)2,1(a2), 2(f(x)+00+f（x）极大值极小值取极小值时时当综上取极小值时)(,1,021,.)(,2xfaxaxfx。取极小值时时当)(,2,21xfxa例例 3 求抛物线上与点距离最近的点。2 21xy )0 , 6(A解：设为抛物线上一点，),(yxM2 21xy 则。22)6(|yxMA42 41)6(xx与同时取到极值，| MAQ2|MA令。422 41)6(|)(xxMAxf由得是唯一的驻点.0)62)(2()(2/xxxxf2x当或时，是的最
7、小值点，xx2,)(,|xxfMA)(xf此时.2221, 22yx即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）.2 21xy )0 , 6(A例例 4 设函数 f（x）=ax，其中 a0，求 a 的范围，使函数 f（x）在区12x间0，+）上是单调函数. 分析：要使 f（x）在0，+）上是单调函数，只需 f（x）在0，+）上恒正 或恒负即可.解：f（x）=a. 21xx当 x0 时， 201 1xx 因为 a0，所以当且仅当 a1 时，f（x）= a 在0，+）上恒小于 21xx0，此时 f（x）是单调递减函数. 点评：要使 f（x）在（a，b）上单调，只需 f（x）在（a，b）上恒正或恒负，即f
8、（x）0（或0）单调递增（或减）. 例例 5 已知函数 f（x）=ax3+bx23x 在 x=1 处取得极值. （1）讨论 f（1）和 f（1）是函数 f（x）的极大值还是极小值； （2）过点 A（0，16）作曲线 y=f（x）的切线，求此切线方程. 解：（1）f（x）=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0，即 . 0323, 0323 baba解得 a=1，b=0.f（x）=x33x，f（x）=3x23=3（x+1） （x1）. 令 f（x）=0，得 x=1，x=1. 若 x（，1）（1，+） ，则 f（x）0，故 f（x）在（，1）上是增函数， f（x）在（1，+）上也是增函
9、数. 若 x（1，1） ，则 f（x）0，故 f（x）在（1，1）上是减函数. 所以 f（1）=2 是极大值，f（1）=2 是极小值. （2）曲线方程为 y=x33x，点 A（0，16）不在曲线上. 设切点为 M（x0，y0） ，则点 M 的坐标满足 y0=x033x0. 因 f（x0）=3（x021） ，故切线的方程为 yy0=3（x021） （xx0）. 注意到点 A（0，16）在切线上，有 16（x033x0）=3（x021） （0x0） ， 化简得 x03=8，解得 x0=2. 所以切点为 M（2，2） ，切线方程为 9xy+16=0. 点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线 的方法，以及分析和解决问题的能力.
