杨辉与杨辉三角

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1、数学家杨辉数学家杨辉杨辉，中国南宋末年杰出的数学家和数学教育家。在 13 世纪中叶活动于苏 杭一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有详解九章算法十二卷（1261 年） 、日用算法二卷（1262 年）、乘除通变本末三卷（1274 年）、田亩 比类乘除算法二卷（1275 年）、续古摘奇算法二卷（1275 年）。其中在详解九章算法一书中载有二项（a+b）n 展开系数的数字三角形， 被称为“杨辉三角”，它的发现比国外同类发现至少早 3O0 年。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算 法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。他在续古摘奇算法中介绍了各种

2、形式的“纵横图“及有关的构造方法， 同时“垛积术“是杨辉继沈括“隙积术“后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在“纂 类“中，将九章算术246 个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、 分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展，在算法通变本末中，杨辉为初学 者制订的“习算纲目“是中国数学教育史上的重要文献。=杨辉介绍杨辉介绍 杨辉，字谦光，中国南宋（11271279）末年钱塘（今杭州市）人。其生 卒年月及生平事迹均无从详考。据有关著述中的字句推测，杨辉大约于 13 世纪 中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。 是当

3、时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问 题。杨辉一生编写的数学书很多，但散佚也很严重。据史料记载，他至少有以 下书，曾在国内或国外刊行：详解九章算法12 卷（1261）详解算法若干卷日用算法（1262）乘除通变算宝3 卷（1274）续古摘奇算法如卷（1275）田亩比类乘除捷法如卷（1275）其中详解九章算法残缺不全， 详解算法、日用算法迄今未见传本。而后 3 种共 7 卷合刊在一起，被 称为杨辉算法。杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋 代的许多算书，使我们才得知其部分内容。其中，刘益的“正负开方术”，贾 宪的“增乘开方法”与“开方作法本源

4、”图（即误传为“杨辉三角”），就是 极其宝贵的数学史料。杨辉继沈括研究“隙积术”之后，研究了“垛积术”，即关于高阶等差数 列的研究。他首次将所谓“幻方”问题作为数学问题研究，并创“纵横图”之 名。他给出了三阶至十阶幻方的实例，对某些构成原理也有所研究。杨辉之前 在中国尚无这方面的研究成果，杨辉之后，明、清两代中国数学家关于纵横图 的研究相继不绝，因此杨耀的著述也是研究关于幻方乃至组合数学历史的珍贵 资料。杨辉还非常关心日常计算技巧，改进算法程序。杨辉不仅著述甚丰，而且是一位杰出的数学教育家。他特别注重数学的普 及教育，其许多著作都是为此而编写的教科书。杨辉主张在数学教育中贯彻理 论联系实际的原

5、则，在日用算法中，他说：“以乘除加减为法，称斗尺田 为问；用法必载源流，命题须责实用。”他还主张贯彻循序渐进的原则，在 算法通变本末（即乘除通变算宝上卷）中，专门为初学者制了一份 “司算纲目”，要求学习者抓住要领，反复练习，这是我国历史上第一部数学 教学大纲。他又告诫初学者：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法， 必设一题。”又说：“题繁难见法理，定摆小题验法理，义既通虽用繁题了然 可见也。”可见，他十分强调习题应有典型性。杨辉一生治学严谨，教学一丝 不苟，他的这此教育思考和方法，至今也有很重要的参考价值。=古代数学家杨辉的故事古代数学家杨辉的故事宋、元数学四大家之一的杨辉是世界上第一个

6、排出丰富的纵横图和讨论构 成规律的数学家说起杨辉的这一成就，还得从一件偶然的小事说起一天台州府的地方官杨 辉坐轿出外巡游，半路上被一个在路中间算题的孩童拦住道路不能通过杨辉 一看来了兴趣，连忙下轿，抬步来到前面杨辉摸着孩童的头说：“为何不让本官从此经过？”孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来 了”“什么算式？”“就是把 1 到 9 九个数字分三行排列，不论直着加、横着加还是斜着加，结 果都是等于 15我们先生说下午一定要把这道题做好我正算到关键之处”杨辉连忙蹲下身，仔细地看孩童的算式，觉得这个算式在哪儿见过，仔细一 想，原来是西汉学者戴德编纂的大戴礼中所写的文章中提

7、及的杨辉和孩童两人连忙一起运算起来,直到天过午，两人才舒了一口气，结果 出来了，他们又验算了一下，结果全是 15，这才站了起来结果如图 1 所示：?/P杨辉回到家中反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄这些数字，终于发现了其中 的规律，按照类似的规律，杨辉又得到了“花 16 图”把从 1 到 16 的数字 排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为 34后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得 到了“五五图”“六六图”“衍数图”“易数图”“九九图”“百子图”等许 多类似的图杨辉把这些图总称为纵横图，于 1275 年写进自己的数学著作续 古摘奇算法一书中，并流传

8、后世但长期以来，人们习惯于把它当做纯粹的数学游戏，并没有给予应有的重 视随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、 组合分析、对策论、计算机科学领域中都找到了用武之地-杨辉和孩童将算题解答出来后的故事外传杨辉和孩童将算题解答出来后的故事外传：后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说： “北周的甄弯注数术记遗一书中写过九宫者，二四为肩，六八为足，左 三右七，戴九履一，五居中央。”杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全 一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知道。杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话

9、： “九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把 l9 九个数依次斜排，再把上 l 下 9 两数对调，左 7 右 3 两数对调，最后把四面的 2、4、6、8 向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四 阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法 的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六 阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。 -幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我 国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研

10、究幻方的第一人， 当数我国古代数学家杨辉。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国 古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一 页。杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他 1261 年所著的详解九章算法一 书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。=杨辉三角杨辉三角简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（X+Y） 2等于 X2 +2XY+Y2，这样系数就是 1 2 1 这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了这就是杨辉三角，也叫贾宪三角。他于我们现在的学习联系最紧

11、密的是 2 项 式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第 3 行的第三个数恰好对应 着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去杨辉三角是一个由数字排 列成的三角形数表，一般形式如下： 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是 由数字 1 组成的，而其余的数则是等于它肩上的 两个数之和。同时这也是多项式(a+b)n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律，即为0 (a+b)0 (0 nCr 0)1 (a+b)1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)2 (a+b)2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)3 (a+b)3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3

12、nCr 2) (3 nCr 3). . . . . .因此杨辉三角第 x 层第 y 项直接就是 （y nCr x）我们也不难得到 第 x 层的所有项的总和 为 2x (即(a+b)x 中 a,b 都为 1 的时候) 上述 yx 指 y 的 x 次方;(a nCr b) 指组合数这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规 律。在国外,这也叫做“帕斯卡三角形”。S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是 1S2：从右往左斜着看，第一列是 1，1，1，1，1，1，1；第二列是， 1，2，3，4，5，6；第三列是 1，3，6，10，15；第四列是 1，4，10，20；第

13、五列是 1，5，15；第六列是 1，6。从左往右斜着看，第一列是 1，1，1，1，1，1，1；第二列是 1，2，3，4，5，6和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。S3：上面两个数之和就是下面的一行的数。S4：这行数是第几行，就是第二个数加一。-杨辉三角的简史杨辉三角的简史：北宋人贾宪约 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开 方运算，南宋数学家杨辉在详解九章算法（1261 年）记载并保存了“贾宪 三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在四元玉鉴（1303 年）扩充了 “贾宪三角”成“古法七乘方图”。时间上:杨辉(1261)朱世杰(1303)也明显就可以知道是杨辉发现的朱世杰只 是扩充了其中的内容附贾宪资料贾宪资料：贾宪，北宋人，约公元 1050 年完成一部叫黄帝九章算术细草的著作， 原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著详解九章算法（1261）摘录， 因能传世。根据杨辉的摘录，贾宪的高次开方法是以一张称为“开方作法本源” 的图为基础。开方作法本源图现称“贾宪三角”或“杨辉三角”，它实际上是 一张二项系数表。贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算法， 可适用于开任意高次方。这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法，与现代通用的“霍纳算法”（1819）已基本一致。而与此方法相联 系的“贾宪三角”，在西方文献中则称“帕斯卡三角”（1654）。