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1、 1.1.21.1.2 弧度制弧度制 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧 度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5） 角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.R 2、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的 合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度 制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制-弧度制，理解并认识到角 度制与弧度制都是对
2、角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的 概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都R 有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一 个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的 运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、教学方法：三、教学方法：讲练导相结合 四、教学过程四、教学过程 （一）引入新课一）引入新课 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约 250 公里，但也有人回
3、答约 160 英里， 请问那一种回答是正确的？（已知 1 英里=1.6 公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量 制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以 换算：1 英里=1.6 公里.不同的单位制能给解决问题带来方便。 角的度量是否也能用不同的单位制呢？，回答是肯定的，一个是角度制，我们已经 不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制-弧度制. （二）探究新知（二）探究新知 1角度制规定：将一个圆周分成 360 份，每一份叫做 1 度，故周角等于 360 度，平角等于 180 度，1 度的角等于周角
4、的.规定周角的作为 1的角后，我们把用度做1 3603601单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为。180n rl弧度制是什么呢？1 弧度是什么意思？一周是多少弧度？弧度制与角度制之间如何换 算？ 2探究 30、60的圆心角，半径 r 为 1，2，3，4，分别计算对应的弧长,再计算弧长与半l径的比. 结论：圆心角不变，则比值不变， 因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一 种度量角的制度弧度制奎屯王新敞新疆 3.弧度制的定义定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角奎屯王新敞新疆它的单位是 rad,读作弧度，这种用“弧度”做单位来
5、度量角的制度叫做弧度制如下图，依次是 1rad ， 2rad ， 3rad ，rad rrr1rad2rr2rad3rr3radlr rad探究： 平角、周角的弧度数， （平角= rad、周角=2 rad） 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0.角的弧度数的绝对值是：，其中， 是圆心角所对的弧长，是半径.rllr得出结论：如果半径为的圆的圆心角所对的弧长是 ,那么的弧度数的绝对值是：rla，这里的正负由角的终边的旋转方向决定。rl角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不 同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不
6、同的观察、 处理方法，因此结果就有所不同奎屯王新敞新疆用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，数量也不同奎屯王新敞新疆4.角度制与弧度制的换算： 360=2 rad 180= rad 1=, radrad01745. 0180185730.571801ooo rad探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆rx 于点,终边与圆交于点.请完成表格.AB弧的长AB旋转的方向OB的弧度数AOB的度数AOB r逆时针方向 2 r逆时针方向 r1yxAOB2r2 0180360 我们知道，角有正负零角之分，它的弧
7、度数也应该有正负零之分，如-，-2 等等， 一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的 正负主要由角的旋转方向来决定. （三）例题讲解（三）例题讲解例 1.按照下列要求,把化成弧度:67 30(1) 精确值； （2）精确到 0.001 的近似值.解: （1）因为，所以67 30135 267 301353 18028radrad（2）利用计算器求近似值（由学生完成）例 2 把化成度rad53解：3318010855radoo(1)角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.180rad(2)用弧度制表示角时， “弧度”二字或“rad”
8、通常略去不写，如角2 就表示是 2 弧度的角。 例 3. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角度030456090120135150180270360弧度06 4 3 22 33 45 63 22角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即R 每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都 有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 例 4.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1); (2); (3).lR21 2SR1 2SlR其中是半径, 是弧长,为圆心角,是扇形的面积.Rl(02 )S证明：（1）因为，所以。rllR（
9、2）=R2 360180S）（ R2 21（3）R2 21RR21lR21例. 用弧度制表示： 1.终边在 x 轴上的角的集合; 2.终边在 y 轴上的角的集合; 3.终边在坐标轴上的角的集 合.解：1.终边在轴上的角的集合 x1|,SkkZ 2.终边在轴上的角的集合 y2|,2SkkZ 3.终边在坐标轴上的角的集合 3|,2kSkZ 例.利用计算器比较和的大小.sin1.5sin85师生共同利用计算器得到：sin1.5sin85注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. （四）课堂精练（四）课堂精练 1.下列各对角中终边相同的角是( )A.（） B.和k222和3 322C.和 D
10、. 97 911 9122 320和2.若 3，则角 的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若 是第四象限角，则 一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 . 5.7 弧度的角在第 象限，与 7 弧度角终边相同的最小正角为 . 6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .7.求值：.2cos4tan6cos6tan3tan3sin8.已知集合22， ，B44 ，求 AB. 9.现在时针和分针都指向 12 点，试用弧度制表示 15 分钟后，时
11、针和分针的夹角. 参考答案：1.C 2.C 3.C 4.2k2k，kZ kk，kZ225.一 72 6. 7.2 8.AB4 或 0 9.32411思考：已知是第二象限角，试求： (1)角所在的象限；(2)角所在的象限；(3)2角所在范围. 2 3解：(1) 是第二象限角,+2k+2k,kZ,即+k+k,kZ. 2 4 2 2故当 k=2m(mZ)时，+2m+2m,因此，角是第一象限角；当4 2 2 2k=2m+1(mZ)时，+2m+2m,因此，角是第三象限角. 综上可知，角45 2 23 2 2是第一或第三象限角. (2)同理可求得角所在范围为：+k+k,kZ.3 6 32 3 3 32可得
12、，角是第一、第二或第四象限角. 3(3)同理可求得 2 角所在范围为：+4k22+4k,kZ. 可得，2 角是第三、第四或 y 轴负半轴上的角. 评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例 如 090这个区间角，只是 k=0 时第一象限角的一种特殊情况. (2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以 k 取不同值，讨论形如=+k(kZ)所表示的角所在象限. 32(3)对于本例(3)，不能说 2 只是第三、第四象限的角，因为 2 也可为终边在y轴负半轴上的角+4k(kZ Z),而此角不属于任何象限.23（五）课堂小结（五）课堂小结(1)角的弧度制的定义； (2)弧度制与角度制有何不同,它们相互间的转化； （3）扇形的弧长公式，面积公式。 （4）能够使用计算器求某角的各三角函数值 （六）课后作业六）课后作业 P10 7，8，9，10五、板书设计：五、板书设计：弧度制弧度制1角度制规定 2探究算弧长与半径的比3.弧度制的定义 4.角度制与弧度制的换算例 1例例例例例练习 作业六、课后反思：六、课后反思：
