《数学奥林匹克高中训练题（95）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学奥林匹克高中训练题（95）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 三、 设三个立方体的棱长分别为xcm ,ycm ,zcm,且0 133,则z14.当z= 14时,如果y= 14 ,则x= 10 ,但不满足式,所以,y 0 ,而sin是二次方程ax2+bx-b= 0的根.则sin的最大值为.3.不等式10x2+20x+ 18 (x+ 1)3x3+ 5x的解为.4.对任意的a、bR,max|a+b| ,|a-b| ,| 1 -b| 的最小值是.5.过点A(2 , - 2)作曲线y= 3x-x3的切线.则切线方程为.6.将1 ,2 ,2 006这2 006个数随意排成一行,得到一个数N.则N(mod 3).三、(20分)对任意的实数a1,a2,an及,证明:a
2、1a2an=n+ (a1-) + (a2-) + (an-) n- 1+ (a2-) (a1-)n- 2+(a3-) (a1a2-2)n- 3+(an- 1-) (a1a2an- 2-n- 2)+(an-) (a1a2an- 1-n- 1) .四、(20分)正四面体ABCD中,M、N、P、Q分别是棱AB、CD、BC、DA的中点,联结MN、PQ交于点O,再联结OA、OB、OC、OD.求证:(1)OA+OB+OC+OD= 0 ;(2)OA、OB、OC、OD两两夹角相等.五、(20分)过抛物线y2= 4x的焦点F作直线l与抛物线交于点A、B.(1)求证:AOB不是直角三角形.(2)当l的斜率为1 2
3、时,抛物线上是否存在点C,使 ABC为直角三角形?若存在,求出所有的点C;若不存在,说明理由.第 二 试图3一、(50分)如图3 ,等 腰 直 角ABC中,D为斜边AB的中点,过直角顶点C作CCAB,又 点E、F、M分别在边AC、BC、EF上,满足CE AE=BF CF=FM EM,过点M作MHCC 于H.试比较MD与MH的大小. 二、(50分)设M是由整数组成的集合, 满足:(1)对一切a、bM,ab,均有a+bM;(2)存在a、bM,使ab 0.可见,ABC为锐角,ABC为锐角三角形,得ABBC=abcos (-ABC) 0矛盾.又由ab 0 ,得0 =asin2+bsin-bbsin2+
4、bsin-b,即 sin2+ sin- 10.解得- 1sin5 - 1 2.当a=b 0时,sin取最大值5 - 1 2.3.xx3+ 5x.作函数f(x) =x3+ 5x,有f(x) =3x2+ 5 0.因此,函数f(x)是单调增加的.由f2 x+ 1f(x) ,得2 x+ 1x(x+ 2) (x+ 1) (x- 1) 0为奇不等式.其解在 “奇区间”(如图6的 “序轴” 的奇数号区间)上.图6反之,偶不等式(x-a1) (x-a2)(x-an) 0或一切0 0 b.若a+b= 0 ,则由ab,aM,bM,得0 =a+bM.若a+b0 ,则a+ba且a+bb(否则ab= 0与ab 0矛盾)
5、 .由条件(1)可分别加上a、b,得(a+b) +aM,(a+b) +bM.若2a+b= 0或a+ 2b= 0 ,则0M.若(2a+b) (a+ 2b)0 ,则由条件(1)再分别加上a、b.依此类推,连续加上a、b,或者得出和为0(找到a或b的相反数) ,或者得出和不是0也不是a、 不是b,直到( -b- 1)a+bM,a+ (a- 1)bM.这是一对相反数,或者自身为0 ,0M;或者自身不为0 ,当然也不相等.由条件(1)可相加得0 = ( -b- 1)a+b + a+ (a- 1)bM.必有0M.由上面的证明可以看到,若一开始a+b= 0 ,ab0 ,则M= a,0 , -a (a0)已满
6、足题设全部条件,不需要增添新的元素,M未必为无穷集合.三、 记平面上的7个点为A1,A2,A7.因为每三点两两连线都组成不等边三角形,故每个三角形都有最长边,也都有最短边.现将每个三角形的最长边都染上红色,剩下的边染上蓝色,则每一个三角形都有红色边.下面证明:C37个三角形中必有4个同色三角形.(1)6阶完全图的边作二染色,至少有2个同色三角形.设Ai的引线中有xi条红线,5 -xi条蓝线,以Ai为顶点的非同色三角形有xi(5 -xi)个.由xi(5 -xi)5 22 ,知xi(5 -xi)6.则非同色三角形总计为1 26i=1xi(5 -xi)66 2= 18.故同色三角形的个数N应满足N=
7、 C36-1 26i=1xi(5 -xi)20 - 18 = 2.(2)7阶完全图的边作二染色,至少有4个同色三角形.由(1)的证明知,此时,至少有2个同色三角形.不妨设其中一个为 A1A2A3,去掉A1,对剩下的6个点又应有2个同色三角形,且异于 A1A2A3,这就得到3个同色三角形.这3个同色三角形有9个顶点,取自7个不同的点,故至少有2个顶点重合于某一Aj(1j7) ,去掉Aj,则去掉了2个同色三角形,剩下的6个点又应有2个同色三角形,它们与被去掉的2个同色三角形是不相同的,故一共有4个不同的同色三角形.(3)由于每一个三角形都有红边,这4个同色三角形必为红色三角形,每个红色三角形的最短边必为另一个三角形的最长边.这就找到了4条连线(每个红色三角形的最短边,即使是两个红色三角形的公共边也没有关系) ,每一条既是一个三角形的最长边(红色) ,又是另一个三角形(所在红色三角形)的最短边.(罗增儒 陕西师范大学数学系,710062)64中 等 数 学
