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1、http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 1 页 共 2 页 搜搜资资源源 上网站上网站二次函数与圆共二次函数与圆共“携手携手”江苏江苏 庄亿农庄亿农 二次函数与圆都是初中数学的重点知识，也是各地历年中考命题的重点和热点，不少 地区经常会把二次函数与圆结合起来作为压轴题考查下面以 2008 年西宁市中考题为例予 以说明 例例 如图，已知半径为 1 的O1与 x 轴交于 A、B 两点，OM 为O1的切线，切点为 M，圆心 O1的坐标为(2，0)，二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 A、B 两点 （1）求二次函数的关系式； （2）求
2、切线 OM 的函数关系式； （3）线段 OM 上是否存在一点 P，使得以 P，O，A 为顶点的三角形与O O1 M 相 似若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 分析：分析：（1）由圆心 O1的坐标及O1的半径可求出 A、B 两点 坐标，代入 y=x2+bx+c，可求出二次函数的关系式 （2）因为切线 OM 经过坐标原点，因此只要求出切点 M 的 坐标就可求出切线 OM 的函数关系式，根据切线的性质结合三角 函数知识即可解决问题 （3）这是一道结论探究题，可通过准确画图探究出这样的点是存在的，但要注意符合 这样条件的点是不唯一的，因此要考虑利用分类讨论思想进行全面考虑
3、 解：解：（1）圆心 O1的坐标为(2，0)，O1的半径为 1，可求出 A 点坐标为(1，0)， B 点坐标为(3，0)二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A、B，可得方程组10 930bc bc ，解得43bc 二次函数关系式为243yxx （2）过点 M 作 MFx 轴，垂足为 FOM 是O1的切线，M 为切点，O1MOM（圆的切线垂直于经过切点的半径） 在 RtOO1M 中，1 1 11sin2O MOOMOO，O1OM 为锐角，O1OM=30，OM=O1Ocos30=223=3在 RtMOF 中，OF= OMcos30=323=23MF=OMsin30=321=23点M坐标为3
4、3 22 ，设切线 OM 的函数关系式为(0)ykx k，由题意可知33 22k，k=33切线 OM 的函数关系式为3 3yx（3）存在分两种情况： 过点 A 作 AP1x 轴，与 OM 交于点 P1可得 RtAP1ORtMO1O（两角对应相等两三角形相似） P1A=OAtanAOP1= tan30=33，P1点坐标为(1，33)；过点 A 作 AP2OM，垂足为 P2，过 P2点作 P2HOA ，垂足为 H可得 RtyAHFMOP1P2O1xBhttp:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 2 页 共 2 页 搜搜资资源源 上网站上网站AP2ORtO1MO（两角对应相等两三角开相似） 在 RtAP2O 中，OA=1，OP2=OAcos30=23在 RtOP2H 中，OH=OP2cosAOP2=2323=43，P2H=OP2sinAOP2=2321=43P2点坐标为(43，43)符合条件的P点坐标有313 ，或33 44 ，点评：点评：本题将二次函数、一次函数知识与圆的知识、三角函数知识及三角形相似知识 巧妙地结合在一起，具有较强的综合性，既考查了函数关系式的求解方法，又考查了圆的 切线性质的应用及利用三角函数知识求有关线段长度和相似三角形的判定
