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1、第三轮疏理第三轮疏理数数 学学目目 录录第一部分：集合与函数1第二部分：不等式8第三部分：三角函数11第四部分：复数16第五部分：数列与极限17第六部分：排列组合与概率23第七部分：向量24第八部分：空间图形28第九部分：直线与圆锥曲线35第十部分：解题技巧与应试心理50上海市格致中学上海市格致中学 数学组数学组前前 言言有人说，数学是科学之母；有人说，数学是人类社会活动的工具；有人说，数学是思维的体操；有人说，数学是上帝用来书写宇宙的文字。不少爱好数学的人说：数学是一种充满智慧的“游戏” ，他从破解数学问题的过程中享受到独有的乐趣。他把数学中的概念、定理、法则、运算规律等看作是这种“游戏”的
2、规则，数学问题的解决就要遵循这些“游戏规则” ，而解决数学问题的方法则是对这些规则的深刻理解与灵活运用。为了使同学们经过两轮系统复习后在高考前对“数学游戏”的规则有一个更为系统的掌握与规范而灵活地运用，因此有了这本第三轮疏理数学 。第三轮疏理数学不是知识的简单梳理，而是对高中数学中的主要知识点进行了“疏通”与“整理” ，对同学们平时考试中容易出错的地方进行了点评与剖析，对容易混淆的概念与相近公式进行了鉴别，在解题方法与技巧上给予指导。配制的例题都给出了分析与解题过程，可减少读者的阅读难度。第三轮疏理数学由朱兆和老师策划并执笔编写，在成书过程中得到了许多同志的帮助与支持。孙晔、蔡青、李世廷、王国
3、伟、俞志钢、朱逸、林星芳、葛赪、胡琼、陈莉、姚勤等老师参加了校对工作，我校专家视导室的特级教师孙兆桂、柴志洪、刘汉标老师对本书提出了宝贵意见。特别是柴志洪老师对本书作了全面审核，在此一并致谢。本书的许多问题与方法累积于我们的教学实践，具有一定的可读性。由于时间仓促，所以书中难免会有不足之处，欢迎读者使用过程中给予指正。上海市格致中学数学组2009 年 4 月第一部分第一部分 集合与函数集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义、在集合运算中一定要分清代表元的含义.举例举例 1已知集，求.,2|,|2RxyyQRxxyyPxQP I分析分析：集合 P、Q 分别表示函数与在定义域 R 上的值
4、域，所以，2xy xy2), 0 P，.), 0( Q), 0( QP I举例举例 2函数，其中 P、M 是实数集 R 的两个非空子集，又规定： )()()(MxxPxxxf.给出下列四个判断：( ) |( ),() |( ),F Py yf x xPF My yf x xM（1）若，则；（2）若，则MP I( )()F PF M IMPI；( )()F PF M I（3）若则；（4）若则.,RMPU( )()F PF MRU,RMPU( )()F PF MRU其中正确的判断有-（ ） A、1 个； B、2 个； C、3 个； D、4 个.分析分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的
5、意义.是函数( )F P的值域，是函数的值域.取，)(Pxxy()F M)(Mxxy), 0 P可知（1） 、 （3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任意一个值只能)0 ,(M与一个函数值对应，所以若，只能是，此时MPI0MP I， （2）正确.对于命题（4）：设则且，若( )()0F PF M I,aPMUaPaM，显然有且，所以有；若，由0a 0( )F P0()F M( )()F PF MRU0a 则，由，则.若有，则，所以aP( )aF PaM()aF M ()aF MaM ，则，所以，则.同理可证，aP ( )aF P ( )()aF PF M U( )()F PF MRU若
6、，则有.（4）也正确，选 B.( )aF P ( )()aF PF MU2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.举例举例若且，求的取值范围.2|,|2xxBaxxABAIa分析分析：集合 A 有可能是空集.当时，此时成立；当时，0aABAI0a，若，则，有.综上知，.),(aaABAI2a40 a4a注意：在集合运算时要注意学会转化等.BAABAI3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若，则，则A 是是B 的充分条件；的充分条件；BA xx若若，则，则A 是是B 的必要条件；若的必要条
7、件；若且且即即，则，则A 是是BA xxBA BA BA xB 的充要条件的充要条件.有时利用有时利用“原命题原命题”与与“逆否命题逆否命题”等价，等价， “逆命题逆命题”与与“否命题否命题”等价等价x转换去判定也很方便转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题哪个命题”是是“哪个命题哪个命题”的充分（必要）的充分（必要）条件；注意区分：条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲甲是乙的充分条件（甲乙）乙） ”与与“甲的充分条件是乙（乙甲的充分条件是乙（乙甲）甲） ” ，是两种不同形式的问题是两种不同形式的问题.举例举例设有集合，则点的2|
8、),(,2| ),(22xyyxNyxyxMMP条件是点；点是点的条件.NPMPNP分析分析：集合 M 是圆外的所有点的集合，N 是直线上方的点的集合.222 yx2 xy显然有.（充分不必要、必要不充分）MN 4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能能根据条件与结论判断出命题的真假根据条件与结论判断出命题的真假.举例举例命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是 ，它是（填真或假）命题.5、若函数、若函数的图像关于直线的图像关于直线对称，则有对称，则
9、有或或)(xfy ax )()(xafxaf等，反之亦然等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身)()2(xfxaf的对称问题的对称问题.函数函数的图像关于直线的图像关于直线的对称曲线是函数的对称曲线是函数的图像，的图像，)(xfy ax )2(xafy函数函数的图像关于点的图像关于点的对称曲线是函数的对称曲线是函数的图像的图像.)(xfy ),(ba)2(2xafby举例举例 1若函数是偶函数，则的图像关于对称.) 1( xfy)(xfy 分析分析：由是偶函数，则有，即，) 1( xfy) 1() 1(xfxf)1()
10、1(xfxf所以函数的图像关于直线对称.或函数的图像是由函数)(xfy 1x) 1( xfy的图像向右平移一个单位而得到的，的图像关于轴对称，故函数)(xfy ) 1( xfyy的图像关于直线对称.)(xfy 1x举例举例 2若函数满足对于任意的有，且当时)(xfy Rx)2()2(xfxf2x，则当时.xxxf2)(2x)(xf分析分析：由知，函数的图像关于直线对称，因而有)2()2(xfxf)(xfy 2x成立.，则，所以.)4()(xfxf2x24 x)4()4()4()(2xxxfxf即时.2x209)(2xxxf6、若函数、若函数满足：满足：则则是以是以为周期的函数为周期的函数.注注
11、)(xfy )0)()(aaxfaxf)(xfa2意：不要和对称性相混淆意：不要和对称性相混淆.若函数若函数满足：满足：则则是以是以)(xfy )0)()(axfaxf)(xf为周期的函数为周期的函数.（注意：若函数（注意：若函数满足满足，则，则也是周期函数）也是周期函数）a2)(xf)(1)(xfaxf)(xf举例举例已知函数满足：对于任意的有成立，且当)(xfy Rx)() 1(xfxf时，则.)2 , 0x12)(xxf)2006()3()2() 1 (ffffL分析分析：由知：，所以函数)() 1(xfxf)() 1( 1) 1()2(xfxfxfxf是以 2 为周期的周期函数.，)(
12、xfy 1)0()2()2004()2006(ffffLL，故意原式值为 0.1) 1 ()3()2003()2005(ffffLL7、奇函数对定义域内的任意、奇函数对定义域内的任意满足满足；偶函数对定义域内的任意；偶函数对定义域内的任意满足满足x0)()(xfxfx.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量的恒等式而的恒等式而0)()(xfxfx不是方程不是方程.奇函数的图像关于原点对称奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于偶函数图像关于 y 轴对称；若函数轴对称；若函数是奇函是奇函)(xfy 数或偶函数，则此函数的定义域必关于原
13、点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若若是奇函数且是奇函数且存在，则存在，则；反；反)(xfy )0(f0)0(f之不然之不然.举例举例 1若函数是奇函数，则实数；axfx121)(a分析：分析：注意到有意义，必有，代入得.这种特值法在解填空、选择题)0(f0)0(f21a时若能灵活运用，则事半功倍.举例举例 2若函数是定义在区间上的偶函数，则此函3)2()(2xbaxxf2 , 12aa数的值域是.分析：分析：函数是偶函数，必有，得；又由是偶函
14、数，0)2() 12(aa1a( )yf x因而.即，所以此函数的值域为.2b3 , 3(3)(2xxxf3 , 68、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反反.若函数若函数的图像关于直线的图像关于直线对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时)(xfy ax 函数值的大小取决于变量离对称轴的远近函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解解“抽象不等式（即函数不等式）抽象不等式（即函数不等式） ”多用函数的多用函数的单调性，但必须注意定义域单调性，但必须注意定义域.举例举例若函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递增，若实)(xfy
