数学教案-圆和圆的位置关系

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1、数学教案圆和圆的位置关系数学教案圆和圆的位置关系1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质它们是本节的主要内容，是圆的重 要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运 用由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容 易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心 线 ”看成是真命题2、教法建议本节内容需要两个课时第一课时主要研究圆和圆的位置关系；第二课时相交两圆的 性质（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的

2、主体，让学生观察、分析、归纳概括， 主动获得知识；（2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习学习兴趣中，获得知识， 提高能力；（3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程教学过程 第一课时第一课时 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系教学目标：教学目标：1掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质；2通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力；3通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力教学重点：教学重点：两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系教学难点：教学难点：两圆位置关系及判定（一

3、）复习、引出问题一）复习、引出问题1复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、 相交各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的2引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?（二）观察、分类，得出概念二）观察、分类，得出概念1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括 同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：(1)外离外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个 圆外离(图(1)(2)外切外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这

4、个公共点以外，每个圆上的点都在另一 个圆的外部时，叫做这两个圆外切这个唯一的公共点叫做切点(图(2)(3)相交相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交(图(3)(4)内切内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一 个圆的内部时，叫做这两个圆内切这个唯一的公共点叫做切点(图(4)(5)内含内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个 圆内含(图(5)两圆同心是两圆内含的一个特例 (图(6)2、归纳：(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一(3)两圆位置关系的五种情况

5、也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和 内切)教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离； 有一个公共点则相切；有两个公共点则相交除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能 有三个公共点?结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系（三）分析、研究（三）分析、研究1、相切两圆的性质让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明2、两圆位置关系的数量特征设两圆半径分别为 R 和

6、 r圆心距为 d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r 和 d 之 间有何数量关系 （图形略）两圆外切 dR+r；两圆内切 dR-r (Rr);两圆外离 dR+r；两圆内含 dR-r(Rr);两圆相交 R-rdR+r说明：注重“数形结合”思想的教学（四）应用、练习（四）应用、练习例例1： 如图，O 的半径为5厘米，点 P 是O 外一点，OP=8厘米求：(1)以 P 为圆心作P 与O 外切，小圆P 的半径是多少?(2)以 P 为圆心作P 与O 内切，大圆P 的半径是多少?解：（1）设P 与O 外切与点 A，则PA=PO-OAPA=3cm（2）设P 与O 内切与点 B，则PB=PO+OBPB=1 3

7、cm例例2：已知：如图，ABC 中，C90，AC12，BC8，以 AC 为直径作O，以 B 为圆心，4为半径作求证：O 与B 相外切证明：连结 BO，AC 为O 的直径，AC12，O 的半径 ，且 O 是 AC 的中点 ，C=90且 BC=8， ，O 的半径 ，B 的半径 ，BO= ，O 与B 相外切练习练习(P138)（五）小结（五）小结知识：知识：两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；两圆相切时切点在连心线上的性质能力：能力：观察、分析、分类、数形结合等能力思想方法：思想方法：分类思想、数形结合思想（六）作业（六）作业教材 P15

8、1中习题 A 组2，3，4题 第二课时第二课时 相交两圆的性质相交两圆的性质教学目标教学目标1、掌握相交两圆的性质定理；2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美教学重点教学重点相交两圆的性质及应用教学难点教学难点应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线教学活动设计教学活动设计（一）图形的对称美一）图形的对称美相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形相交两圆具有什么性质呢?（二）观察、猜想、证明二）观察、猜想、证明1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴

9、对称图形2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”3、证明：对 A 层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对 B、C 层在教师引导下完 成已知已知：O1和O2相交于 A，B求证求证：Q1O2是 AB 的垂直平分线分析分析：要证明 O1O2是 AB 的垂直平分线，只要证明 O1O2上的点和线段 AB 两个端点的 距离相等，于是想到连结 O1A、O2A、O1B、O2B 证明证明：连结 O1A、O1B、 O2A、O2B，O1A=O1B，O1点在 AB 的垂直平分线上又O2AO2B，点 O2在 AB 的垂直平分线上因此 O1O2是 AB 的垂直平分线也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：Ol和O2

10、，是轴对称图形，直线 O1O2是Ol和O2的对称轴Ol和O2的公共点 A 关于直线 O1O2的对称点即在Ol上又在O2上A 点关于直线 O1O2的对称点只能是 B 点，连心线 O1O2是 AB 的垂直平分线定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两 圆的连心线（三）应用、反思三）应用、反思例例1、已知两个等圆Ol和O2相交于 A，B 两点，Ol经 O2。求OlAB 的度数分析：由所学定理可知，O1O2是 AB 的垂直平分线，又O1与O2是两个等圆，因此连结 O1O2和 AO2，AO1，O1A

11、O2构成等边三角形， 同时可以推证O l和O2构成的图形不仅是以 O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以 AB 为对称轴的轴对称图形从而可由OlAO260，推得OlAB30解：O1经过 O2，O1与O2是两个等圆OlA= O1O2= AO2O1A O2=60，又 ABO1O2OlAB =30例例2、已知，如图，A 是O l、O2的一个交点，点 P 是 O1O2的中点。过点 A 的直 线 MN 垂直于 PA，交O l、O2于 M、N。求证：AM=AN证明：过点 Ol、O2分别作 OlCMN、O2DMN，垂足为 C、D，则 OlCPAO2D，且 AC= AM，AD= ANOlP= O2P ，AD

12、=AM，AM=AN例例3、已知：如图，Ol与O2相交于 A、B 两点，C 为Ol上一点，AC 交O2于 D，过 B 作直线 EF 交Ol、O2于 E、F求证：ECDF证明：连结 AB在O2中F=CAB，在Ol中CAB=E，F=E，ECDF反思：反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从 而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解， 或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解（四）小结四）小结知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦该定理可以作为证明两 线垂直或证明线段相等的依据能力与方法：在解决两圆相交的问题中常常

13、需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使 两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；圆的对称性的应 用（五）作业（五）作业 教材 P152习题 A 组7、8、9题；B 组1题 探究活动探究活动问题问题1：已知 AB 是O 的直径，点 O1、O2、On在线段 AB 上，分别以 O1、O2、On为圆心作圆，使O1与O 内切，O2与O1外切，O3与O2外切， ，On与On-1外切且与O 内切设O 的周长等于 C，O1、O2、On的周 长分别为 C1、C2、Cn(1)当 n=2时，判断 Cl+C2与 C 的大小关系；(2)当 n=3时，判断 Cl+C2+ C3与 C 的大小关系；(3)当

14、 n 取大于3的任一自然数时，Cl十 C2十十 Cn与 C 的大小关系怎样?证明你的结 论提示：提示：假设O、O1、O2、On的半径分别为 r、rl、r2、rn，通过周长 计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十 C2十十 Cn=C问题问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧 贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是， 这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了在我们这个题目中，那动圆绕着 相当于它的圆周长的 的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转；而是 转，因此，它绕过六 个这样的弧形的时，就转了 转