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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报数学周报杯杯”2008 年全国初中数学竞赛试题参考答年全国初中数学竞赛试题参考答案案一一二二三三题题 号号1 15 56 6101011111212 13131414总总 分分得得 分分评卷人评卷人复查人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答.2解答书写时不要超过装订线.3草稿纸不上交.一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分分. 以下每道小题均给出了以下每道小题均给出了代号为代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的的四个选项，其中有且只有一个
2、选项是正确的. 请将正确请将正确选项的代号填入题后的括号里选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得不填、多填或错填都得 0 分）分）1已知实数满足 ，则的值为（ xy，42 424233yyxx，4 44yx）（A）7 （B） （C） （D）5113 2713 2【答】（A）解：解：因为，0，由已知条件得20x 2y， ，21244 4 3113 84x 2114 3113 22y 所以 4 44yx2 2233yx 72 226yx2把一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先（第 3 题）后投掷 2 次，若两个正面朝上的编号分别为 m，n，则二次函数的
3、图象与 x 轴有两个不同交点的概率是（ ）2yxmxn（A） （B） （C） （D）5 124 917 361 2【答】（C）解：解：基本事件总数有 6636，即可以得到 36 个二次函数. 由题意知0，即4.24mn2mn通过枚举知，满足条件的有 17 对. 故.mn，17 36P 3有两个同心圆，大圆周上有 4 个不同的点，小圆周上有 2 个不同的点，则这 6 个点可以确定的不同直线最少有( )（A）6 条 （B） 8 条 （C）10 条 （D）12 条 【答】（B）解：解：如图，大圆周上有 4 个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定 6 条不同的直线；小圆周上的两个点 E，F 中，至
4、少有一个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，则它与A，B，C，D 的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D 的两两连线从而这 6 个点可以确定的直线不少于 8 条当这 6 个点如图所示放置时，恰好可以确定 8 条直线所以，满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条4已知是半径为 1 的圆的一条弦，且以为一边在圆ABO1ABaAB内作正，点为圆上不同于点 A 的一点，且，的OABCDODBABaDC延长线交圆于点，则的长为（ ）OEAE（A） （B）1 （C） （D）a5 2a3 2【答】（B）解：解：如图，连接 OE，OA，OB 设 ，则 D 120ECAEAC 又因
5、为 1160180222ABOABD，120 所以，于是ACEABO1AEOA5将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）（A）2 种 （B）3 种 （C）4 种 （D）5 种【答】（D）解：解：设是 1，2，3，4，5 的一个满足要求的排列12345aaaaa，首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之1234aaaa，后都是偶数，与已知条件矛盾又如果（1i3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数ia1ia2ia后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数
6、所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下 5 种情形满12345aaaaa，足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分）分）6对于实数 u，v，定义一种运算“*”为：若关于 x 的方程u vuvv 有两个不同的实数根，则满足条件的实数 a 的取值范围是 1()4xax 【答】，或0a 1a 解：解：由，得1()4xax ，21(1)(1)04axax（第 4 题）依题意有 210(1)(1)0aaa ，解得，或0a 1a 7小王沿街匀速
7、行走，发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车，每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车假设每辆 18 路公交车行驶速度相同，而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟【答】4解：解：设 18 路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行xy驶的相邻两车的间距为 米s每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车，则 syx66每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车，则 syx33由，可得 ，所以 xs44xs即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟8如图，在中，AB=7，AC=11，点 M 是 BC 的中点， AD 是ABCBA
8、C 的平分线，MFAD，则 FC 的长为 【答】9解：解：如图，设点 N 是 AC 的中点，连接 MN，则MNAB又，/MFAD所以 ，FMNBADDACMFN （第 8 题）所以 1 2FNMNAB因此 911 22FCFNNCABAC9ABC 中，AB7，BC8，CA9，过ABC 的内切圆圆心 I 作DEBC，分别与 AB，AC 相交于点 D，E，则 DE 的长为 【答】16 3解：解：如图，设ABC 的三边长为 a，b，c，内切圆 I 的半径为 r，BC 边上的高为，则ah，11()22aABCahSabc r所以 ara habc因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此，aahr
9、DE hBC所以 (1)(1)aaahrraDEaaahhabc，()a bc abc故 87916 8793DE（）10关于 x，y 的方程的所有正整数解为 22208()xyxy【答】48160 3232.xx yy ， ，解：解：因为 208 是 4 的倍数，偶数的平方数除以 4 所得的余数为 0，奇数的平方数除以 4 所得的余数为 1，所以 x，y 都是偶数（第 8 题答案）（第 8 题答案图）（第 8 题答案图）（第 9 题答案）设，则2 ,2xa yb，22104()abab同上可知，a，b 都是偶数设，则2 ,2ac bd，2252()cdcd所以，c，d 都是偶数设，则2 ,2
10、cs dt，2226()stst于是 ，22(13)(13)st22 13其中 s，t 都是偶数所以222(13)2 13(13)st2222 131511所以可能为 1，3，5，7，9，进而为13s2(13)t 337，329，313，289，257，故只能是289，从而7于是2(13)t 13s62044sstt ，；，因此 48160 3232.xx yy ， ，三、解答题（共三、解答题（共 4 题，每题题，每题 15 分，满分分，满分 60 分）分）11在直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象与轴、轴bkxy0k （）xy的正半轴分别交于 A，B 两点，且使得OAB 的面积值等于3OA
11、OB（1） 用 b 表示 k；（2） 求OAB 面积的最小值 解：解：（1）令，得；令，得0x0ybb，0y00bxkk ，所以 A，B 两点的坐标分别为，于是，OAB 的面积为0)(0)bABbk（，)(21 kbbS由题意，有，3)(21bkb kbb解得 ， )3(222bbbk2b 5 分（2）由（1）知21(3)(2)7(2) 10()222bb bbbSbkbb 2101027(2)72 1022bbbb，1027 当且仅当时，有，即当，时，不等式1022bb7+2 10S 102b1k中的等号成立所以，OAB 面积的最小值为 1027 15 分12是否存在质数 p，q，使得关于
12、x 的一元二次方程20pxqxp有有理数根？ 解：解：设方程有有理数根，则判别式为平方数令，2224qpn 其中 n 是一个非负整数则 2()()4qn qnp 5 分由于 1q+n，且与同奇偶，故同为偶数因此，有如下qnqnqn几种可能情形：222qnqnp ，24qnqnp ，4qnp qnp ， ，2 2qnp qnp ， ，24.qnpqn ，消去 n，解得 22 251222222pppqpqqqpq， ， ， ， 10 分对于第 1，3 种情形，从而 q5；对于第 2，5 种情形，从2p 2p 而 q4（不合题意，舍去）；对于第 4 种情形，q 是合数（不合题意，舍去）又当，q5
13、时，方程为，它的根为，它2p 22520xx12122xx，们都是有理数综上所述，存在满足题设的质数 15 分13如图，的三边长ABCBCaCAbABc，都是整数，且的最大公约数abc，ab，为点和点分别为的重心和内2GIABC心，且求的周长90GICABC解：解：如图，延长，与边GI分别交于点设重心在BCCA，PQ，G边上的投影分别为，BCCA，EF， 的内切圆的半径为 ，边上ABCrBCCA，的高的长分别为，易知 CPCQ，abhh，由，PQCGPCGQCSSS可得 ，123abrGEGFhh即 ，222123ABCABCABCSSS abcab从而可得 6ababcab 10 分 因为的重心 G 和内心不重合，所以，不是正三角形，且ABCIABC ，否则，可得，矛盾ba2ab2c 不妨假设，由于，设，于是有ab2ab ，1111221aabbab，（第 13 题）（第
