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1、实验 3 一元函数微分学实验目的1借助软件绘图功能，从几何直观上帮助理解导数的概念以及切线方程、法线方程；2借助软件绘图功能，深入理解驻点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线概念；3从几何上帮助理解微分中值定理和泰勒展开定理；4学习使用软件进行导数和微分的基本运算；5近似计算。实验准备1导数的概念000()(), limy xxxyf xxf xA 2导数的基本运算规则（1） ；1212( )( )( )( )c f xc g xc fxc g x（2） ；( ( ) ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x（3） 若，则。( ),( )yf u ux( )( )
2、dy dxf ux3微分中值定理若在上可微，则在中一定存在一点，使得( )F x , a b , a b.( )( )( )F bF aFba4泰勒展开式若在点附近是次可微的，则在的附近可以写成( )f x0xx1n( )f x0xx( ) 200 00000()()( )()()()()()( )2!n n nfxfxf xf xfxxxxxxxR xnL其中 称为泰勒展开式中的余项。(1)1 0( )()( )(1)!nnnfxxR xn5导数的应用（1）函数几何性质的判断（2）极值- 16 - 第一章 基础实验实验内容1导数概念及其几何意义2微分中值定理的几何演示3泰勒展开定理与多项式逼
3、近4驻点、拐点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线的几何示意图5导数的运算6利用软件求极值7近似计算软件命令表表 3-13-1 MatlabMatlab 一元函数求导命令一元函数求导命令函数名称调用格式说 明symssyms 变量名 1，变量名 2,定义符号变量symf=sym(expression)定义符号表达式diff(f,x,n)求 f 对 x 的 n 阶导数diff(X,n)求 X 中相邻两元素的 n次递归差分diffdiff(Y)./diff(X)计算近似导数dy dxtaylortaylor(f,n,x0)在处展开函数0x到第 n 项( )f xsolvesolve(equation
4、s,x,)方程（组）求根fsolvefsolve(equations,x0,)非线性方程（组）求根rootsroots(p)多项式求根plotplot(x1,y1,options,x2,y2,options,)绘制散点图演示实验【例例 3.1】3.1】导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义考察函数的图像及在处切线、割线之间的关系。2sin2yxx1,1x 实验 3 一元函数微分学 - 17 -【原理原理】：过点的切线方程和法线方程分别为00(,()xf x和000()()()yf xfxxx00 01()()()yf xxxfx 割线方程为00 00()()()()f xxf xyf x
5、xxx【步骤】：Step 1: 取，绘制在点的割线、切线和法线；1x ( )f x01,1x Step2：分别取，利用动画展示函数0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01,0.001,0.0001x 图像、切线、割线和法线之间的关系。【程序】：程序参见 Exm03Demo01.m。【例例 3.2】3.2】洛尔定理的几何意义洛尔定理的几何意义设函数，( )(3)(1)(1)(3)f xxxxx（1）验证分别在区间上满足洛尔定理，并通过图形展示( )f x 3, 1, 1,1, 1,3洛尔定理的几何意义；【原理】：在区间上可微，且，所( )f x 3, 1, 1,1, 1,3( 3)(
6、 1)(1)(3)0ffff以分别在区间上满足洛尔定理的条件。由洛尔定理，存在( )f x 3, 1, 1,1, 1,3，使得。123( 3, 1),( 1,1),( 1,3)xxx 123()()()0fxfxfx【步骤】：Step1:Step1: 画出画出的图形，并求出的图形，并求出。( ),( )yf xyfx123,x x xclearclfsyms x;f=(x-3)*(x-1)*(x+1)*(x+3);df1=diff(f,x);rt=solve(df1,x);for i=1:3vf(i)=subs(f,x,rt(i);endvf=double(vf);X1=-4.0:0.1:4.
7、0;n1=length(X1);- 18 - 第一章 基础实验Z1=zeros(1,n1);for i=1:n1Y1(i)=subs(f,x,X1(i);DY1(i)=subs(df1,x,X1(i);endplot(X1,Y1,r-,X1,DY1,b-,X1,Z1)输出图形：-4-2024-50050 f(x) f(x) y=0图3-2（1）f(x)以及f(x)的图形求得的根为：-5(1/2)；0；5(1/2)。Step2:Step2: 画出画出及其在点及其在点处的切线。处的切线。( )yf x112233( ,(), (,(), (,()xf xxf xxf xY0=ones(1,leng
8、th(X1)*vf(1);X2=0:0.1:4;Y2=ones(1,length(X2)*vf(2);X3=-4:0.1:0;Y3=ones(1,length(X3)*vf(3);axis(-4 4 -50 50)hold onplot(X1,Y1,r-,X1,DY1,b-,X1,Z1)plot(X1,Y0,r-,X2,Y2,b-.,X3,Y3,k-)hold off输出图形为：-4-2024-50050 f(x)f(x)y=0y=9y=-16y=-16图 3-2（2）切线图及几何意义【例例 3.3】3.3】泰勒展开式泰勒展开式对函数分别在处进行作泰勒展开到 2、4、6、8 阶，并在区2/2c
9、osxyex00,2x间内作出函数及其在处 2、4、6、8 阶泰勒多项式的图形。 2 ,2 00,2x【步骤】：实验 3 一元函数微分学 - 19 -Step1：在处展开成泰勒级数；00x Step2：在处展开成泰勒级数02x Step3：绘制函数图形【程序】：参见 Exm03Demo03.m。【输出】：-2-1012-4-2024（1） 在 x=0 展开11.522.5-0.100.10.20.3（2）在处展开2x 图 3-3 一元函数的泰勒展开【例例 3.4】3.4】驻点与拐点的计算驻点与拐点的计算已知函数，求的驻点、拐点。32(1)( )(1)xf xx( )f x【步骤步骤】：【Ste
10、p1】：求出函数，并绘制图形：( ),( )fxfx在命令窗口中键入：syms x;f=(x+1)3/(x-1)2;df1=diff(f,x);simplify(df1)df2=diff(f,x,2);simplify(df2)输出结果：df1 =(x+1)2*(x-5)/(x-1)3；- 20 - 第一章 基础实验df2 =(24*x+24)/(x-1)4。在命令窗口中分别输入：fplot(x-5)*(x+1)3/(x-1)3,-2 0);fplot(x-5)*(x+1)3/(x-1)3,2 6);可以得到一阶导函数和二阶导函数的图形（略） 。【Step2】：求出函数的可能驻点和拐点：( )
11、f x在命令窗口中输入： solve(df1,x)solve(df2,x)输出结果为：可能的驻点为：-1，-1，5；拐点为：-1。【例例 3.5】3.5】求导运算求导运算计算下列导数：（1）已知，求；（2）已知，求；1 1arctanx xy ,y ylna x a xy ,y y（3）已知,求；2(1)yxf x22d y dx（4）函数由方程确定，求导数。( )yy xlnyxydy dx【步骤步骤】：输入命令：(1) syms x;y=arctan(x+1)/(x-1)simplify(diff(y,x)simplify(diff(y,x,2)(2) syms x a;y=log(a-x
12、)/(a+x)(1/2);simplify(diff(y,x)simplify(diff(y,x,2)（3）syms x;y=sym(x*f(x2+1);diff(y,x,2)（4） clcclear syms x y; y=sym(y(x); g=char(diff(y-x-log(y),x); h=subs(g,diff(y(x),x),f); f=solve(h,f)【例例 3.6】3.6】极值问题极值问题求函数的极值。54333 54( )21f xxxx实验 3 一元函数微分学 - 21 -【步骤】：【Step1】：绘制函数的图形：在命令窗口中输入：fplot(3/5*x5-3/4*
13、x4-2*x3+1,-2 2.5)输出图形：-2-1012-15-10-505图 3-4 函数的极值【Step2】求出函数的驻点输入：syms x;f=3/5*x5-3/4*x4-2*x3+1;df1=diff(f,x);solve(df1,x)输出可能的驻点为：0，0，2，-1。【Step3】判断驻点是否为极值点输入：df2=diff(f,x,2) 输出：df2 =12*x3-9*x2-12*x；输入：subs(df2,x,0) 输出：0；输入：subs(df2,x,2) 输出：36；输入：subs(df2,x,-1) 输出：-9；因此，x=2 为极小值点, x=-1 为极大值点。在-0.5
14、,0.5内：一阶导数 df1= 3*x2*(x+1)*(x-2)0，函数单调下降，因此 x=0 不是极值点。输入：subs(f,x,2); subs(f,x,-1);输出：极小值为：-7.8，极大值为 1.65。【例例 3.7】3.7】近似计算近似计算- 22 - 第一章 基础实验利用微分中值定理或者泰勒公式计算的近似值。cos7【步骤】：Step 1：定义泰勒展开式：TaylorCos(x,x0,n)Step 2：计算近似值 【程序】：参见Exm03Demo07.m。【输出】：见表 3-1。表 3-1 利用泰勒展开式进行近似计算结果比较表（cos7）展开次数近似值误差展开点近似值误差21-0.246110.217710.536194-23.524.25421.0985-0.34462676.542-75.78830.78713-0.0332318-86.8687.61440.75441-0.000504921056.116-55.36350.75393.611e-00612-21.72622.4860.75392.0382e-009147.17-6.416170.7539016-0
