我用概率推出了完全数和盈数、亏数的平均变比

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1、我用概率推出了完全数和盈数、亏数的平均变比我用概率推出了完全数和盈数、亏数的平均变比山东省章丘市第一职业中专 马国梁我们知道：在对任一自然数进行分解后，如将小于它的因数全部相加，就会得到一 个新的数。这个数如果等于被分解的自然数，那么它就叫完全数（完美数、完备数） ；如果 大于该自然数，它将叫盈数，而小于该自然数，它则叫亏数。 完全数非常稀少，而亏数却总是多于盈数。如将盈数或亏数再进行分解，并生成新 的数这样无限进行下去，那么其总趋势将是下降的；只有少量的可能在一定范围内循 环。何以至此？迄今为止并没有确凿的证明，且今后也看不到任何证明的希望。因此笔者 想到：我们为什么不用概率计算的方法来制服

2、这匹野马，找出其统计上的规律？在经过反 复的尝试后，不曾想还真取得了一些有价值的进展。现将之介绍如下。 一、根据算数基本定理，任一自然数都可以写成唯一的若干质因数的幂的乘积。即x = (2a)(3b)(5c)(7d)(qn) 式中的底数都是质数；指数的范围是 a、b、c n = 0 由此我们即可求得 x 的所有因数的个数（包括 1 和 x）为m = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)(n+1) 二、x 的全部因数（包括 1 和 x）之和为y = (1+2+4+ +2a)(1+3+9+ +3b) (1+q+qq+ +qn)= 2(a+1) 1 3(b+1) 1(1/2) 5(c+1) 1(

3、1/4) q(n+1) 1(1/(q-1)= x 2/13/25/47/6 q/(q-1) 1-1/(2(a+1) 1-1/(3(b+1) 1-1/(q(n+1) 三、令 y = kx 则 k = 2/13/25/47/6 q/(q-1) 1-1/(2(a+1) 1-1/(3(b+1) 1-1/(q(n+1) 当 k = 2 时 x 即是完全数； k 2 时 x 为盈数； k 2 时 x 为亏数。 质因数越多、值越小，k 值就越大；指数 a、b、c n 越大，特别是小质数的指数 a、b 等越大，k 值也越大。但指数的影响小于底数的。我们忽略后面各项，可得 k 的上限 为k = 2/13/25/

4、47/6 q/(q-1) 可以证明 k 值的极限为无穷大，但与此相应的 x 更是不可思议的无穷大。 四、由于所有自然数的因数在通过相加后所得到的新数都没有倾向性，完全是随机的， 那么我们就可以用概率来推算它们的平均变比了。 我们知道：在全部的自然数中，偶数占总的 1/2，这也是它参与构数的概率；3 倍数占 1/3 5 倍数占 1/5 7 倍数占 1/7 q 倍数占 1/q 故可得 k 的平均大小为k = (2/1)(1/2)(3/2)(1/3)(5/4)(1/5)(7/6)(1/7) (q/(q-1) (1/q) 可以证明 k 的平均值是有限大的。还可算得：当 q = 101 时 k = 1.

5、78306409 2 这样 x= (k-1)x = 0.78306409 x 可见所有新生数的平均值都要小于原值。总的说来是：亏数居多，盈数较少，完全 数则更少。 任一自然数，当对它的分解、求和无限进行时，其总体趋势都是要下降的，上升总 是暂时的。当然可能还有少量的循环数，完全数只是其中循环半径为 0 的数。 我们还可求得任一自然数通过变换下降到 1 的平均步数是s = -ln(x)/ln(k-1) 例如 x = 72 . 理论计算结果是 s = 17 而实际步数则为 8 ，少了； 当 x = 120 时. 理论计算是 s = 20 而实际步数则为 30 ，多了。 至此我们开头所提的问题就算解

6、决了！这与以前我用概率解决“角谷猜想”的问题 相似。但这类问题怕的是连统计规律都没有，宛若一片浮云，让人无从下手。例如用从 0 到 9 的十个数码，通过一次次的摇选所得到的曲线就是这样的。 其实上面所算的平均 k 值只是它的上限，另外它还有下限和中间值。下限就是 k 式 当考虑后面各项，并令其指数 a、b、c n 都等于 1 时所求的平均值。公式是 k。= (3/2)(1/2)(4/3)(1/3)(6/5)(1/5)(8/7)(1/7) (q+1)/q) (1/q) 当 q = 101 时 k。= 1.4656738 而中间值则是 k= sqrt(k k。)= (3/1)(1/4)(4/2)(1/6)(6/4)(1/10)(8/6)(1/14) (q+1)/(q-1) (1/2q) 当 q = 103 时 k= 1.61675077 这个值与实际最接近。