《圆系方程及其应用2012.10.11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆系方程及其应用2012.10.11（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆系方程及其应用 一常见的圆系方程有如下几种：1以为圆心的同心圆系方程： ( , )a b222()()(0)xayb与圆同心的圆系方程为：22+0xyDxEyF22+0xyDxEy2过直线与圆交点的圆系方程为：:0l axbyc22:+0C xyDxEyF22+0xyDxEyFaxbycR（1）当直线 与圆交于两点时，圆系中的所有圆是以为公共弦的一系列相交圆，其圆心在lC,A BAB 公共弦的垂直平分线上；AB（2）当直线 与圆切于点时，这时圆系的圆心，lCA(,)22DaEbM(,)(,)(,)( , )2222222DaEbDEabCMOMOCa b uuu u ruuuu ruuu r
2、而直线 的法向量，l( , )na br=2CMnuuu u rrnrCMuuu u r因此，且直线 为圆的过点的切线CMluuu u rlCA又（过切点的半径与切线垂直） ，与重合CAlCACM由此可知，圆系中的所有圆（除圆外）与圆内切或外切于点，直线 是它们的公切线， 圆CCAl 心都在直线上CA3过两圆与交点的圆系方程为：22 1111:+0CxyD xE yF22 2222:+0CxyD xE yF2222 111222+01xyD xE yFxyD xE yF 可知，圆心,1212(,)2(1)2(1)DDEEM 1212112121 11()()(,)(,)(,)2(1)2(1)2
3、22(1)2(1)DDEEDEDDEEC MOMOC uuuu ruuuu ruuuu r2211 2112(,)(,)()1222211DEDEOCOCC C uuuu ruuuu ruuuur因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线上12,M C CM12C C（1）当圆与圆相交于两点时，则（即连心线与公共弦垂直） ，且弦为所1C2C,A B12ABC CAB有圆的公共弦；（2）当圆与圆内切或外切于点时，则在过切点的连心线上，圆系的所有圆都与1C2CAMA12C C已知的圆及圆在点处内切或外切1C2CA注意：（1）此圆系不含圆；22 2222:+0CxyD xE yF（2）为
4、了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的2C1C圆系方程:22 111121212()()()0xyD xE yFDD xEEyFF（3）特别地，当时，上述方程称为根轴方程1 121212()()()0 *DD xEEyFF根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等当两已知圆与圆于两点时，方程表示公共弦所在直线的方程；1C2C,A B(*)AB当圆与圆内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点的公切线方程1C2CA(*)A这时，除点外，公切线上的所有点均具有根轴的性质A 二圆系方程在解题中的应用例 1求经过两圆和交点和坐标
5、原点的圆的方程22320xyxy2233210xyxy 解：设所求圆的方程为：22223233210xyxyxyxy点在所求的圆上，将代入，得，解得0,00xy20 2故所求的圆的方程为： 0) 1233(2)23(2222yxyxyxyx即 7。2277yx xy例 2求与圆切于点，且过点的圆的方程2242200xyxy( 1, 3)A (2,0)B解一：视点为点圆，构造圆系( 1, 3)A 22(1)(3)0xy22224220(1)(3) 0xyxyxy代入点，可得，所求的圆的方程为(2,0)B4 32277418200xyxy解二：过点的已知圆的切线方程为，与已知圆构造圆系( 1, 3
6、)A 34150xy224220(3415)0xyxyxy代入点，可得，所求的圆的方程为(2,0)B8 72277418200xyxy例 3.求经过直线与圆：的交点且面积最小的圆的方程:240lxy22:2410C xyxy 解一：设圆的方程为，即，22241+240xyxyxy22+2(1+ )(4)(1 4 )0xyxy则，54)58(45)41 (4)4()1 (4412222r当时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：.8 52r22552612370xyxy解二：设圆的方程为，即，22241+240xyxyxy22+2(1+ )(4)(1 4 )0xyxy依题意，欲使所求圆面积
7、最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上，(1,2)2 :240lxy即，解得2(1)(2)402 8 5将代回圆系方程得，所求圆方程为8 522111179()()448xy作业：1.求与圆切于点，且过点的圆的方程222xy(1,1)A( 1, 4)B 2.求过两圆和的交点，且与直线相切的圆的方程221xy2240xyx360xy3.圆系中，任意两个圆的位置关系如何？222(410)10200(,1)xykxkykkR k 圆系方程及其应用（教师用） 一常见的圆系方程有如下几种：1以为圆心的同心圆系方程： ( , )a b222()()(0)xayb与圆
8、同心的圆系方程为：22+0xyDxEyF22+0xyDxEy2过直线与圆交点的圆系方程为：:0l axbyc22:+0C xyDxEyF22+0xyDxEyFaxbycR（1）当直线 与圆交于两点时，圆系中的所有圆是以为公共弦的一系列相交圆，其圆心在lC,A BAB 公共弦的垂直平分线上；AB（2）当直线 与圆切于点时，这时圆系的圆心，lCA(,)22DaEbM(,)(,)(,)( , )2222222DaEbDEabCMOMOCa b uuu u ruuuu ruuu r而直线 的法向量，l( , )na br=2CMnuuu u rrnrCMuuu u r因此，且直线 为圆的过点的切线CM
9、luuu u rlCA又（过切点的半径与切线垂直） ，与重合CAlCACM由此可知，圆系中的所有圆（除圆外）与圆内切或外切于点，直线 是它们的公切线， 圆CCAl 心都在直线上CA3过两圆与交点的圆系方程为：22 1111:+0CxyD xE yF22 2222:+0CxyD xE yF2222 111222+01xyD xE yFxyD xE yF 可知，圆心,1212(,)2(1)2(1)DDEEM 1212112121 11()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)DDEEDEDDEEC MOMOC uuuu ruuuu ruuuu r2211 2112(,)(,)(
10、)1222211DEDEOCOCC C uuuu ruuuu ruuuur因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线上12,M C CM12C C（1）当圆与圆相交于两点时，则（即连心线与公共弦垂直） ，且弦为所1C2C,A B12ABC CAB有圆的公共弦； （2）当圆与圆内切或外切于点时，则在过切点的连心线上，圆系的所有圆都与1C2CAMA12C C已知的圆及圆在点处内切或外切1C2CA注意：（1）此圆系不含圆；22 2222:+0CxyD xE yF（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的2C1C圆系方程:22 111121212()
11、()()0xyD xE yFDD xEEyFF（3）特别地，当时，上述方程称为根轴方程1 121212()()()0 *DD xEEyFF根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等当两已知圆与圆于两点时，方程表示公共弦所在直线的方程；1C2C,A B(*)AB当圆与圆内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点的公切线方程1C2CA(*)A这时，除点外，公切线上的所有点均具有根轴的性质A 二、圆系方程在解题中的应用：例 1求经过两圆和交点和坐标原点的圆的方程22320xyxy2233210xyxy 解：设所求圆的方程为：22223233210xyxyxyxy
12、点在所求的圆上， 有2 从而0,0故所求的圆的方程为： 0) 1233(2)23(2222yxyxyxyx即 7。2277yx xy例 2求与圆切于点，且过点的圆的方程2242200xyxy( 1, 3)A (2,0)B解一：视点为点圆，构造圆系( 1, 3)A 22(1)(3)0xy22224220(1)(3) 0xyxyxy代入点，可得，所求的圆的方程为(2,0)B4 32277418200xyxy解二：过点的已知圆的切线方程为，与已知圆构造圆系( 1, 3)A 34150xy224220(3415)0xyxyxy代入点，可得，所求的圆的方程为(2,0)B8 72277418200xyxy
13、例 3.求经过直线与圆：的交点且面积最小的圆的方程:240lxy22:2410C xyxy 解一：设圆的方程为，即，22241+240xyxyxy22+2(1+ )(4)(1 4 )0xyxy则，54)58(45)41 (4)4()1 (4412222r当时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：.8 52r22552612370xyxy解二：设圆的方程为，即，22241+240xyxyxy22+2(1+ )(4)(1 4 )0xyxy依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上，(1,2)2 :240lxy即，解得2(1)(2)402 8 5将代回圆系方程，得所求的圆方程为8 522111179()()448xy练习：1.求与圆切于点，且过点的圆的方程222xy(1,1)A( 1, 4)B 解：设所求的圆方程为2222(1)(1)(2)0xyxy圆过点，将代入，得，解得，( 1, 4)B 1,4xy 15 +29=029 15 将代回圆系方程，得所求的圆方程为8 522771515440xyxy2.求过两圆和的交点，且与直线相
