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1、平面几何：平面几何：1 1、四个重要定理：、四个重要定理：梅涅劳斯梅涅劳斯(Menelaus)(Menelaus)定理（梅氏线）定理（梅氏线）ABCABC 的三边的三边 BCBC、CACA、ABAB 或其延长线上有点或其延长线上有点 P P、Q Q、R R，则，则 P P、Q Q、R R 共线的充要条共线的充要条件是件是 。塞瓦塞瓦(Ceva)(Ceva)定理（塞瓦点）定理（塞瓦点）ABCABC 的三边的三边 BCBC、CACA、ABAB 上有点上有点 P P、Q Q、R R，则，则 APAP、BQBQ、CRCR 共点的充要条件是共点的充要条件是。托勒密托勒密(Ptolemy)(Ptolemy
2、)定理定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松西姆松(Simson)(Simson)定理（西姆松线）定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外 接圆上。接圆上。例题：例题：1 1 设设 ADAD 是是ABCABC 的边的边 BCBC 上的中线，直线上的中线，直线 CFCF 交交 ADAD 于于 F F。求证：。求证：。【分析分析】CEF】CEF 截截ABDABD（梅氏定理）（梅
3、氏定理）【评注评注】也可以添加辅助线证明：过也可以添加辅助线证明：过 A A、B B、D D 之一之一 作作 CFCF 的平行线。的平行线。2 2 过过ABCABC 的重心的重心 G G 的直线分别交的直线分别交 ABAB、ACAC 于于 E E、F F，交，交 CBCB 于于 D D。求证：求证：。【分析分析】连结并延长连结并延长 AGAG 交交 BCBC 于于 M M，则，则 M M 为为 BCBC 的中点。的中点。DEGDEG 截截ABMABM（梅氏定理）（梅氏定理）DGFDGF 截截ACMACM（梅氏定理）（梅氏定理）= = =1=1【评注评注】梅氏定理梅氏定理3 3 D D、E E、
4、F F 分别在分别在ABCABC 的的 BCBC、CACA、ABAB 边上，边上，ADAD、BEBE、CFCF 交成交成LMNLMN。求求 S SLMNLMN。【分析分析】【评注评注】梅氏定理梅氏定理4 4 以以ABCABC 各边为底边向外作相似的等腰各边为底边向外作相似的等腰BCEBCE、 CAFCAF、ABGABG。求证：。求证：AEAE、BFBF、CGCG 相交于一点。相交于一点。【分析分析】【】【评注评注】塞瓦定理塞瓦定理5 5 已知已知ABCABC 中，中，B=2CB=2C。求证：。求证： ACAC2 2=AB=AB2 2+ABBC+ABBC。【分析分析】过过 A A 作作 BCBC
5、 的平行线交的平行线交ABCABC 的外接圆于的外接圆于 D D，连结，连结 BDBD。则。则 CD=DA=ABCD=DA=AB，AC=BDAC=BD。由托勒密定理，由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDABACBD=ADBC+CDAB。【评注评注】托勒密定理托勒密定理6 6 已知正七边形已知正七边形 A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 5A A6 6A A7 7。求证：。求证：。（第。（第 2121 届全苏数学届全苏数学竞赛）竞赛）【分析分析】【评注评注】托勒密定理托勒密定理7 7 ABCABC 的的 BCBC 边上的高边上的高 ADAD 的延长线交外的延长线交外 接圆
6、于接圆于P P，作，作 PEABPEAB 于于 E E，延长，延长 EDED 交交 ACAC 延长线于延长线于 F F。求证：。求证：BCEF=BFCE+BECFBCEF=BFCE+BECF。【分析分析】【评注评注】西西 姆松定理姆松定理（西姆松线）（西姆松线）8 8 正六边形正六边形 ABCDEFABCDEF 的对角线的对角线 ACAC、CECE 分别被内分点分别被内分点 M M、N N 分成的比分成的比为为 AMAM：AC=CNAC=CN：CE=kCE=k，且，且 B B、M M、N N 共线。求共线。求 k k。（。（23-IMO-523-IMO-5）【分析分析】【评注评注】面积法面积法
7、9 9 O O 为为ABCABC 内一点，分别以内一点，分别以 d da a、d db b、d dc c表示表示 O O 到到 BCBC、CACA、ABAB的距离，以的距离，以 R Ra a、R Rb b、R Rc c表示表示 O O 到到 A A、B B、C C 的距离。的距离。求证：（求证：（1 1）aRaRa abdbdb b+cd+cdc c; ; (2)(2) aRaRa acdcdb b+bd+bdc c; ;(3)(3) R Ra a+R+Rb b+R+Rc c2(d2(da a+d+db b+d+dc c) )。【分析分析】【评注评注】面积法面积法1010ABCABC 中，中，
8、H H、G G、O O 分别为垂心、重心、外心。分别为垂心、重心、外心。求证：求证：H H、G G、O O 三点共线，且三点共线，且 HG=2GOHG=2GO。（欧拉线）。（欧拉线）【分析分析】【评注评注】同一法同一法1111ABCABC 中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC 于于 D D，BMBM、BNBN 三等三等 分分ABCABC，与，与 ADAD 相交于相交于 M M、N N，延长，延长 CMCM 交交 ABAB 于于 E E。求证：求证：MB/NEMB/NE。【分析分析】【评注评注】对称变换对称变换1212G G 是是ABCABC 的重心，以的重心，以 AGAG 为弦作圆切
9、为弦作圆切 BGBG 于于 G G，延长，延长 CGCG 交圆于交圆于 D D。求证：。求证：AGAG2 2=GCGD=GCGD。【分析分析】【评注评注】平移变平移变 换换1313C C 是直径是直径 AB=2AB=2 的的OO 上一点，上一点，P P 在在ABCABC 内，若内，若PA+PB+PCPA+PB+PC 的最小的最小值是值是，求此时，求此时ABCABC 的面积的面积 S S。【分析分析】【评注评注】旋转变换旋转变换费马点：费马点：已知已知 O O是是ABCABC 内一点，内一点，AOB=BOC=COA=120AOB=BOC=COA=120；P P 是是ABCABC 内任一点，求内任
10、一点，求 证：证：PA+PB+PCOA+OB+OCPA+PB+PCOA+OB+OC。（。（O O 为费马点）为费马点）【分析分析】将将 C CCC，O OOO， P PPP，连结，连结 OOOO、PPPP。则。则BB OOOO、BB PPPP都是正三角形。都是正三角形。OO=OBOO=OB，PP=PBPP=PB。显然。显然BOCBOCBOCBOC，BPCBPCBPCBPC。由于由于BOC=BOC=120=180-BOOBOC=BOC=120=180-BOO，AA、O O、OO、CC四点共线。四点共线。AP+PP+PCAC=AO+OO+OCAP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即，即 PA+P
11、B+PCOA+OB+OCPA+PB+PCOA+OB+OC。1414(95(95 全国竞赛全国竞赛) ) 菱形菱形 ABCDABCD 的内切圆的内切圆 O O 与各边分别交于与各边分别交于 E E、F F、G G、H H，在弧，在弧 EFEF 和弧和弧 GHGH 上分别作上分别作OO 的切线交的切线交 ABAB、BCBC、CDCD、DADA 分别于分别于 M M、N N、P P、Q Q。 求证：求证：MQ/NPMQ/NP。【分析分析】由由 ABCDABCD知：要证知：要证 MQNPMQNP，只需证，只需证AMQ=CPNAMQ=CPN，结合结合A=CA=C 知，只需证知，只需证AMQCPNAMQC
12、PN，AMCN=AQCPAMCN=AQCP。连结连结 ACAC、BDBD，其，其 交点为内切圆心交点为内切圆心 O O。设。设 MNMN 与与OO 切于切于 K K，连结，连结 OEOE、OMOM、OKOK、ONON、OFOF。记。记 ABO=ABO=，MOK=MOK=，KON=KON=，则，则EOM=EOM=，FON=FON=，EOF=2+2=180-2EOF=2+2=180-2。BON=90-NOF-COF=90-=BON=90-NOF-COF=90-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOMCNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又又OCN=MAOOCN=MAO，OC
13、NMAOOCNMAO，于是，于是，AMCN=AOCOAMCN=AOCO同理，同理，AQCP=AOCOAQCP=AOCO。【评注评注】1515(96(96 全国竞赛全国竞赛)O)O1 1和和OO2 2与与 ABCABC 的三边所在直线都相切，的三边所在直线都相切， E E、F F、G G、H H 为切点，为切点，EGEG、FHFH 的延长线交的延长线交 于于 P P。求证：求证：PABCPABC。【分析分析】【评注评注】1616(99(99 全国竞赛全国竞赛) )如图，在四边形如图，在四边形 ABCDABCD 中，对角中，对角线线 ACAC 平分平分BADBAD。在。在CDCD 上取一点上取一点
14、 E E，BEBE 与与 ACAC 相交于相交于 F F，延长，延长 DFDF 交交 BCBC 于于 G G。求证：。求证：GAC=EACGAC=EAC。证明：连结证明：连结 BDBD 交交 ACAC 于于 H H。对。对BCDBCD 用塞瓦定理，可得用塞瓦定理，可得因为因为 AHAH 是是BADBAD 的角平分线，由角平分线定理，的角平分线，由角平分线定理，可得可得，故，故。过过 C C 作作 ABAB 的平行线的平行线交交 AGAG 的延长线于的延长线于 I I，过，过 C C 作作 ADAD 的平行线交的平行线交 AEAE 的延长的延长 线于线于 J J。则则，所以所以，从而，从而 CI=CJCI=CJ。又因为又因为 CI/ABCI/AB，CJ/ADCJ/AD，故，故ACI=-BAC=-DAC=ACJACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，因此，ACIACJACIACJ，从而，从而IAC=JACIAC=JAC，即，即GAC=EACGAC=EAC。已知已知 AB=ADAB=AD，BC=DCBC=DC，ACAC 与与 BDBD 交于
