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1、天津职业大学数学建模第 1 页 共 11 页数学建模论文数学建模论文题目：题目： 污污 水水 处处 理理 费费 用用 的的 合合 理理 分分 担担姓名：姓名： 夏文海夏文海 学号：学号： 100304109 学学 院：经济与管理学院院：经济与管理学院专专 业：业： 物流管理物流管理班班 级级：一班一班 2011 年年 6 月月 28 日日天津职业大学数学建模第 2 页 共 11 页目目 录录第一部分 摘 要 （3） 第二部分 关键 词 （3） 第三部分 问题重 述 （3） 第四部分 问题分 析 （4） 第五部分 模型的假 设 （5） 第六部分 定义与符号说 明 （5） 第七部分 模型的建立与求
2、 解 （6） 第八部分 对模型的评 价 （9） 第九部分 参考文 献 （10） 第十部分 附 录 （10）天津职业大学数学建模第 3 页 共 11 页摘要：摘要：有三个位于某河流同旁的城镇城有三个位于某河流同旁的城镇城 1、城、城 2、城、城 3。三城镇的污水。三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。联合建厂费按污水量之比分担污水只能由上游往下游。联合建厂费按污水量之比分担,
3、管道费管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担。用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担。我利用我利用 ShapleyShapley 合作对策的方法设计出污水处理的五种方案。合作对策的方法设计出污水处理的五种方案。再经过计算和比较从而得出使三城镇处理污水总开支最少的最优再经过计算和比较从而得出使三城镇处理污水总开支最少的最优方案。方案。关键词：关键词： 污水量、建厂费用、管道费用污水量、建厂费用、管道费用 、联合建厂、总开支最少、联合建厂、总开支最少、ShapleyShapley 合作对策合作对策天津职业大学数学建模第 4 页 共 11 页问题重述：问题重述：
4、沿河有三城镇 、 、 ，地理位置如图所示。污水处理后才能排入河123中。三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道将污水集中处理。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。用表示污水量， 表示管道长度，按照经验公式：Qst /Lkm建立处理厂的费用 千元712. 0173QP 铺设管道费用 千元LQP51. 0266. 0已知三城镇污水量分别为： ，51Qst /，32Qst /，53Qst /的数值如图所示。L问：（1）三城镇如何制定污水处理方案才能使总开支最小？如果联合建厂，每一城镇负担的费用应各为多少？河流12320km38km三城镇地理位置示意图天津职业大学数学建模
5、第 5 页 共 11 页问题分析：问题分析：(1)本题属于求最小费用问题。首先要列出各种污水处理方案，并计算各种方案的总投资；(2)经过对比，从节约总投资的角度出发，三城镇应在城镇3联合建厂，(3)如果联合建厂，对于各城镇如何分担污水处理费用有下面的建议：联合建厂费按污水量之比分担,管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担。分别计算在上述建议下，各城镇分担的费用。模型的假设：模型的假设：、假设题目所给的数据真实可靠；、假设污水只能由上游往下游；、假设天气、地理、人文等因素多保持稳定且对本题影响可以忽略；、假设三个城镇的发展水平保持不变，污水量保持不变。天津职业大学数学建模第
6、 6 页 共 11 页定义与符号说明：定义与符号说明：污水量Qst /Q1 城镇 1 污水量st /Q2 城镇 2 污水量st /Q3 城镇 3 污水量st /P1 建立处理厂的费用（千元）P2 铺设管道费用（千元）X1 城镇 1 节约的投资（千元）X2 城镇 2 节约的投资（千元）X3 城镇 3 节约的投资（千元）D(1) 方案一总费用（千元）D(2) 方案二总费用（千元）D(3) 方案三总费用（千元）D(5) 方案五总费用（千元）C(i): 第 i 城镇建厂的费用（i=1,2,3）C(i,j): 第 i、j 城镇联合在 j 处建厂由于费用 （i、j=1,2,3）C(i,j,k): 第 i、
7、j、k 城镇联合在 k 处建厂由于费用 （i、j、k=1,2,3）d1: 建厂费（千元）天津职业大学数学建模第 7 页 共 11 页d2 12 管道费（千元）d2 23 管道费（千元）模型的建立与求解：模型的建立与求解：(1)三城镇污水处理共有以下五种方案1)，分别建厂。投资分别为.总投资D(1)=C(1)+C(2)+C(3)=62002)，1,2合作,在城镇2建厂。投资为总投资D(2)C(1,2)+C(3)=580.3), 2,3合作，在城镇3建厂。投资为总投资D(3)C(1)C(2,3)=595.4), 1,3合作，在城镇3建厂。投资为这个费用超过了1，3分别建厂的费用，不可能实现。5)，
8、 三城镇合作，在城镇3建厂。总投资为D(5)=55655638)35(66. 020566. 0)535(73)3 , 2 , 1 (51. 051. 0712. 05 CD230)3(,160)2(,230573)1(712.0CCC35020566. 0)35(73)2, 1 (51. 0712. 0C36538366. 0) 53 (73) 3 , 2(51. 0712. 0C46358566. 0)55(73)3 , 1 (51. 0712. 0C天津职业大学数学建模第 8 页 共 11 页(2)对于上述五种方案，比较结果以D(5)556(千元)最小，所以从节约总投资的角度出发，应 该
9、在城镇3联合建厂。(3)对于建议，要考虑D(5)如何分担？建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道费：d2=0.66 50.51 20=3023管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73城3建议：d1 按 5:3:5分担, d2,d3由城1,2担负城2建议：d3由城1,2按 5:3分担, d2由城1担负城1计算：城3分担d15/13=174C(1)城镇1 分担的费用比单独建厂的费用还大，建议显然不合理。建议不会被采纳，(4)各城镇分担的费用应满足下列关系：C(1)230C(1)230C C（2 2）160160C(3)230C(3)230C(1)+CC(1)+C（
10、2 2）350350C(1)+C(3)365C(1)+C(3)365天津职业大学数学建模第 9 页 共 11 页C(2)+C(3)463C(2)+C(3)463C(1)+C(2)+C(3)=556C(1)+C(2)+C(3)=556对于一个合理的分担方案，应该满足这个关系，而且城镇2处于比较有利的地理位置，因此城镇2应该在合作中得到比城镇1,3更多的利益，所以，如果所给的解满足上面所给的关系，而且使得城镇2在合作中得到较多的利益均可认为是正确答案。(5)利用 Shapley 值方法计算城镇 1,2,3 负担的费用，得出本题合理的分担方案：特征函数 v(s)联合(集 s)建厂比单独建厂节约的投资
11、X=(X1、X2、X3) 三城从节约投资 v(I)中得到的分配计算城 1 从节约投资中得到的分配 x10)3()2() 1 (, 0)(vvvv40350160230) 2 , 1 () 2() 1 () 21 (CCCv U64556230160230)3 , 2 , 1 ()3()2() 1 ()(0)31 (25365230160)3 , 2()3()2()32(CCCCIvvCCCvUU天津职业大学数学建模第 10 页 共 11 页)1()()(svsvsw)(sws) 1()(svsv) 1(sv)(svs1 1 2 1 3 I UU0 40 0 640 0 0 250 40 0 391 2 2 31/3 1/6 1/6 1/30 6.7 0 13 X1=19.7 X2=32.1 X3=12.2三城在总投资 556 中的分担城 1 C(1)X1=210.4(千元), 城 2 C(2)-X2=127.8(千元), 城 3 C(3)-X3=217.8(千元) 对模型的评价：对模型的评价：1、模型优点：公正、合理，有公理化基础。可应用于其他效益的合理分配问题和合作分配问题。2、需要知道所有合作的获利，即要定义 I=1,2,n的所有子集(共 2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。3、操作简单、易于掌握、适于推广。参考文献：参考文献：数学模型建模分析 ，蔡常丰编著，科学
