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1、第一部分 问题重述与分析1.1问题重述已知某工厂要生产 7 种产品，以 I，II，III，IV，V，VI，VII 来表示，但 每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出大约利润，依次为： 100,60,80,40,110,90,30，同时该厂有 4 台磨床、2 台立钻、3 台水平钻、1 台镗 床和 1 台刨床可以用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备 台时如表 1。 单位所需 台时 设备IIIIIIIVVVIVII磨床0.50.70.30.20.5 立钻0.10.20.30.6 水平钻0.20.80.6 镗床0.050.030.070.10.08 刨床0.010.050.
2、05从 1 月到 6 月，维修计划如下：1 月1 台磨床，2 月2 台水平钻，3 月1 台 镗床，4 月1 台立钻，5 月1 台磨床和 1 台立钻，6 月1 台刨床和 1 台水平 钻，被维修的设备当月不能安排生产。又知从 16 月市场对上述 7 中产品最大 需求量如表 2 所示。 IIIIIIIVVVIVII 1 月5001000300300800200100 2 月6005002000400300150 3 月30060000500400100 4 月2003004005002000100 5 月010050010010003000 6 月500500100300110050060每种产品当
3、月销售不了的每件每月存储费为 5 元，但规定任何时候每种产 品的存储量均不能超过 100 件。1 月初无库存，要求 6 月末各种产品各储存 50 件。 若该工厂每月工作 24 天，每天两班，每班 8 小时，要求 （1） 该厂如何安排生产，使总利润最大； （2） 若对设备维修只规定每台设备在 16 月份内均需安排 1 个月用于维 修（其中 4 台磨床只需安排 2 台在上半年维修） ，时间可灵活安排。 重新为该厂确定一个最优的设备维修计划。1.2 问题分析A.对于问题（1） ，我们所要解决的是在生产设备有限并得知产品最大需求 量的情况下，牟求最大的利润。通过分析问题（1） ，我们从以下两条思产品1
4、路着手，即每件产品需多少台不同设备台时，然后建立线性规划模型， 其目标函数是根据总利润=各产品的销售数量各产品的单件利润库 存费用，最后，通过仔细分析题中所含条件，再一一列举出约束条件， 据此我们制定出了最优生产方案。 此问题得到解决的关键如下： 1.目标函数的确立：由总利润=各产品的销售数量各产品的单件利 润库存费用，得到目标函数； 2.找出约束条件：此线性规划模型，是在考虑到每种产品都需要多种 设备加工的基础上，另外由于生产设备有限，所以各生产产品的生 产量受设备的可用台时的限制，同时还已知了各产品的最大需求量， 据此可得出台时约束方程与需求约束方程；另外，题中还规定了任 何时候每种产品的
5、存储量不超过 100 件，一月初无库存，6 月末各 产品各存储 50 件，由此可得出 3 个约束方程；最后，根据各月各 产品生产数量各月各产品库存量=各月各产品最大需求量，可得 另一约束方程；在模型（2）中，是在考虑每种产品都需要各种设 备加工的基础上建立起来的，约束条件为库存量的限制，生产量、 销售量及库存量之间的关系，工作时间的限制，同样也是线性规划 模型。 3.模型求解：编写程序，尽量简洁有效，用 Lingo 软件进行求解； 4.结果分析：讨论分析模型的优缺点，找出模型可改进的方向。 B.对于问题（2） ，要求重新为该厂确定一个最优的设备维修计划，规定每 台设备在 16 月份内均需安排
6、1 个月用于维修（其中 4 台磨床只需安 排 2 台在上半年维修） ，这是一个最优排序问题，现在我们考虑的问题 化为如何维修 9 台设备，确定出最优维修次序，使得在六个月里得到的 总利润最大，这一问题的解决只需在问题（1）的解决方案上稍加分析， 创新，便可得到。第二部分 模型假设及符号说明2.1模型假设1.假设题目所给的数据真实可靠； 2.为了研究方便，忽略设备维修成本所造成的损失； 3假设当月运行的设备不发生故障，不存在人为破坏因素使之不能正常运 行； 4.假设每台设备维修的时间不超过一个月，一个月之后，立即投入生产运行；2.2定义与符号说明题中给出的五种设备，分别为磨床、立钻、水平钻、镗床
7、和刨床，对应 符号为 i，根据排列顺序，分别取 i=1,2,3,4,5；月份对应符号为 t，分别 取 t=1,2,3,4,5,6；同时，该工厂生产的产品种类符号为 j，依次取 j=1,2,3,4,5,6,7。具体符号定义如下：2: 总利润z：第 t 个月对第 j 种产品的最大需求量；jta：第 j 种产品的单件利润；jb：第 i 种设备生产单件第 j 种产品消耗的时间；jic：第 t 月份第 i 种工作设备台数（下文中称为工作矩阵） ；itd：第 t 个月生产第 j 种产品的数量；jtx：第 t 个月第 j 种产品的库存量；jth：第 t 个月售出第 j 种产品的数量；jts：第 j 种产品的
8、单件库存费用；jm：第 t 个月机器的维修；ytn第三部分 模型的建立与求解3.1针对问题（1）：3.1.1 模型的建立1) 目标函数此目标函数的确立采用了先确定影响变量，再确定影响变量和总利 润之间的关系的思路，让问题的模型具有条理性和简洁性。根据总利润= 生产各产品的数量各产品的单件利润库存费用就可写出该函数方程。76761111maxjtjjtj jtjtzs bhm32) 约束条件i.由于该工厂每月只工作 24 天，每天两班，每班 8 小时，同时，每月工作设备工作的台时不同，则该工厂第 t 个月第 i 种设备生产各产品所需时间等于小时 ，约束条件如24 16itd 下：(1)7124
9、16jtjiit jxcdii.由于已知该工厂生产的各种产品的最大需求量，因此，各产品的销售量需不超过各产品的最大需求量：(2)jtjtsaiii.由于题中规定，任何时候每种产品的存储量均不能超过 100 件，1 月无库存，6 月末各种产品各存储 50 件，所得公式如下：（j=1,2,3,4,5）(3)100jth (4)650jhiv.另外，根据生产量，销售量及货存量之间的关系，可得数学表达式如下：当 t=1 时（j=1,2,3,7）(5)111jjjhxs当时2t (6)( ,1)()jtj tjtjthhxs3.1.2 模型的求解由题中从 1 月到 6 月的维修计划可知工作矩阵：4，34
10、4434222112313332110111111110itd 由表一数据可知第 i 种设备生产单件第 j 种产品消耗的台时矩阵：，0.50.10.20.0500.70.200.030000.800.0100.300.0700.3000.10.050.20.60000.500.60.080.05jic 由表二可知，第 t 个月对第 j 种产品的最大需求量矩阵50060030020005001000500600300100500300200040050010030000500100300800400500200100011002003004000300500100150100100060jta
11、由七种产品的单件利润可得到： ，1006080401109030jb 5根据已得出的目标函数，以及各约束条件，用 lingo 软件求解该线性规 划模型，具体公式如下：76761111maxjtjjtj jtjtzs bhm71111( ,1)()624 16j1,2,37,t=1 (2).100 50jtjiit jjjjjtj tjtjtjtjtjtjxcdhxs hhxstst sa h h（）用 lingo 软件编程,程序见附表一，求得最大利润为 937115 元，其各产品的生 产计划表，库存量表，销售量表如下：表 3：六个月的各产品生产计划15008883833008002000 27
12、006001170500300250 3000004000 42003004005002000100 501006001001100300100 6550550035005500 （例如表中第一个数 500 表示：安排第一个月生产第一种产品 500 件） 表 4：六个月的各产品库存量1 0 0 83 0 0 0 02 100 100 0 0 100 0 1003 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 05 0 0 100 0 100 0 1006 50 50 50 50 50 50 50产 品月 份产 品月 份6表 5：六个月的各产品销售量1500100030030080020
13、0100 26005002000400300150 310010000100400100 42003004005002000100 5010050010010003000 65005005030050500503.2 针对问题（2）：1)方法一：由分析可知，问题（2）只是将问题（1）中的维修矩阵由已知变成未知， 不过有一点没变的是维修台数不变，要求我们安排最优的维修计划，这里 我们先不考虑维修，将设备看成都能在每个月进行生产，得到未维修矩阵记作，则全d=，全d42311 42311 42311 42311 42311 42311 由于维修各种设备的台数不变，我们不妨将问题（1）中的维修矩阵拿下
14、来进行比较观察，344434222112313332110111111110itd 产 品月 份7我们不难发现维修矩阵的每一列之和等于未维修矩阵每一列之和减去此列 所代表的设备需要维修的设备台数。下面根据这个条件对在问题（1）中建 立的模型进行适当的改进即可得到最优维修矩阵。目标函数不变：；76761111maxjtjjtj jtjtzs bhm71111(,1)()6 61 1 62 1 63 1 64 1 65 12416j1,2,37,t=1 (2)100 50 .22101555（）jtjiit jjjjjtj tjtjtjtjtjtjt tt tt tt tt txcdhxs hhx
15、st sa h h tddddd利用 lingo 编程，程序在附表二，由运行结果可得到最大利润为 1088550 元，得到的最优维修矩阵42311 42311 42111 20200 42311 42311itd8每个月每种产品在最优维修矩阵下的生产量 1 月2 月3 月4 月5 月6 月50060040000550 10005007000100550 3002001000500150 30001000100350 800400600010001150 2003004000300550 10015020000110 这种解法虽然没有确定要维修两台的设备两次维修的是不是同一台，但是我们 可以从最优维修矩阵中得出要维修
