圆锥曲线(复习)

第八章圆锥曲线 1 截面与所有母线都相交，截线为椭圆；截面与一条母线平行，截线为抛物线；截面与轴截面与所有母线都相交，截线为椭圆；截面与一条母线平行，截线为抛物线；截面与轴 线平行就可以使得截线为双曲线的一支线平行就可以使得截线为双曲线的一支他分别将这三种圆锥曲线命名为：“齐曲线“(抛物 线)、“亏曲线“(椭圆)、“超曲线“(双曲线)阿波罗尼奥斯首先注意到了双曲线有两支，并且 是有心曲线 2 实质上是代数知识（函数，三角，不等式）在解析几何中的综合运用，加上圆锥曲线本 身所固有的性质；怎样简化计算①点在直线上，点的坐标的设法②点差法③充分利用几何 性质 8.1 椭圆 1 椭圆的定义及有关概念（1）第一定义：在平面内，动点 p 与两个定点的距离之和为 常)02|(|,2121 CFFFF数 2a 的点的轨迹 ①当 2a>2c 时，p 点的轨迹是椭圆②当 2a=2c 时，p 点的轨迹是线段21FF③当 2aa>c，b，a，c 成等差数列，则顶点 A 的轨迹方程为＿＿＿（2）第二定义平面内，动点 p 到定点 F 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 e，且l 00）,且椭圆上存在点 p，使1122 ymx)0 ,(),0 ,(21cFcF 得垂直，求实数 m 的取值范围21PFPF与Ⅴ点与椭圆的位置关系，p（在椭圆内122 0 22 0by ax),00yx，p（在椭圆上122 0 22 0by ax),00yx，p（在椭圆外122 0 22 0by ax),00yx0201,eyaPFeyaPF例 1 直线 y=kx+1 与椭圆恒有公共点，求参数 m 的取值范围1922 myx例 2 设 A,B 分别为椭圆的左右顶点，椭圆的长半轴的长等于焦)0, 0( 12222 baby ax距，且 x=4 为它的右准线， （1）求椭圆的方程 （2）设 P 为右准线上不同于（4，0）的任意一点，若直线 AP,BP 分别与椭圆相交于异于 A,B 的点 M,N，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。

Ⅵ直线和椭圆的关系（有心圆锥曲线可以直接用判别法）例 1 当 m 为何值时，直线 y=x+m 与相交，相切，相离14416922yxⅦ性质ABM OM 为 AB 的中点，（用点差法证明） ，特别地，当 a=b 时为圆，22abKKABOM1ABOMKK例 1 直线 与椭圆交于 A，B 两点，并且线段 AB 的中点为（1，1） ，求直线l369422 yx的方程l 解法 1（根与系数的关系） 解法 2（点差法） 解法 3（利用性质）例 2 设椭圆存在两点，关于 y=2x+m 对称，试确定 m 的范围13422 yx解法 1：设而不求 解法 2：点差法（出现中点）ABM( , )x1y1x0y0( , ) x2y2( , )例 3 椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率 e=，过点 C（-1，0）的直线36交椭圆于 A,B 两点，且满足：((1)若为常数，①试用直线 的斜率l BCCA)2lk（k0）表示的面积；②当的面积最大时，求椭圆 E 的方程；（2）若OABOAB变化，且，试问：实数和直线 的斜率 k（kR）分别为何值时，椭圆 E 的12 kl短半轴取得最大值？例 4 设 A,B 分别为椭圆的左右顶点，椭圆的长半轴的长等于焦距，)0( 12222 baby ax且 x=4 为它的右准线 （1）求椭圆的方程 （2）设 p 为右准线上不同于（4，0）的任意一点，若直线 AP,BP 分别与椭圆相交于异于 A,B 的点 M,N 证明：点 B 在以 MN 为直径的园内（一般情况下，直线和椭圆不求交点坐标，但特一般情况下，直线和椭圆不求交点坐标，但特 殊直线可以求交点坐标，标准方程下，如直线过椭圆的中心或直线过椭圆的顶点）殊直线可以求交点坐标，标准方程下，如直线过椭圆的中心或直线过椭圆的顶点） 例 5 设椭圆中心在（0，0）,A(2,0),B(0,1)是它两个顶点，直线 y=kx（k>0）与 AB 交于点 D，与椭圆交于 E,F 两点（1）若,求 k DFED6（2）求 S的最大值AEBF四边形例 6 已知椭圆，是它两个焦点，左右顶点为 A,B，动点 M 为)0( 12222 baby ax21,FF椭圆上一点（1）若,求 e 的范围o9021MFF（2）若,求 e 的范围o120AMB例 7 设椭圆，是它两个焦点，A 是椭圆上的一点，)0( 12222 baby ax21,FF,原点 O 到直线的距离为212FFAF 1AF||311OF(1)证明 a=b2（2）设为椭圆上的两个动点，,过原点 O 作直线的垂线 OD，垂21,21OQOQ 21足为 D，求点 D 的轨迹方程。

Ⅷ有关最值例 1 已知椭圆内有一点 A（4，2） ，F 为其右焦点，M 为椭圆上一动点，求1162522 yx|MA|+|MF|的最小值例 3 已知 F 是椭圆的左焦点，点 P 是椭圆上的动点，点 A(1,1)是一定点，459522 yx（1）求 2|PA|+3|PF|的最小值，并求 P 的坐标 （2）求|PA|+|PF|的最大值与最小值例 4 已知抛物线，直线 与抛物线交于 A,B 两点，OB,求 AB 的中点 M 的轨迹xy42lOA方程 解法 1（利用根与系数的关系，设而不求设而不求） 解法 2 求出点 A,B 的坐标例 5 已知椭圆内有一点 A（4，2） ，F 为其右焦点，M 为椭圆上一动点，求1162522 yx|MA|+|MF|的最小值35FA(4,2)MA',Ⅸ弦长公式 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0 的限制 （求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0 下进行 ）弦长公式 P Pkxxx x122 122 1214  1142122 12kyyy y10 有关中点弦问题可考虑用“代点法” 。

中点连两点，原点与、交于与直线例：椭圆MNNMxynymx1122线的斜率为，则的值为2 2m n答案：m n2 28.2 双曲双曲线线1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPFfp⑴①双曲线标准方程：)0,( 1),0,( 122222222 ffba bxayba byax. 一般方程：)0( 122pACCyAx.⑵①i. 焦点在 x 轴上： 顶点：)0 ,(),0 ,(aa 焦点：)0 ,(),0 ,(cc 准线方程cax2  渐近线方程：0by ax或02222  byaxii. 焦点在y轴上：顶点：), 0(),, 0(aa. 焦点：), 0(),, 0(cc. 准线方程：cay2 . 渐近线方程：0bx ay或02222  bxay，参数方程：    tansec byax或    sectan aybx.②轴yx,为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. ③离心率ace . ④准线距ca22（两准线的距离） ；通径ab22. ⑤参数关系acebac,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222  byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221 aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201例 1 若双曲线的渐近线方程为 2x3y=0，且过点（，求双曲线的方程)2 ,6⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222by ax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222  byax.①x 轴：，y 轴：12222 by ax12222 bx ay▲ yxM'MF1F2▲ yxM'MF1F2（两双曲线的形状没变，只是焦点的位置变了，2a 实轴也相等）⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222  byax的渐近线方程为02222  byax如果双曲线的渐近线为0by ax时，它的双曲线方程可设为)0(2222  byax.（共轭双曲线：焦点由 x 轴变为 y 轴，形状也变了）例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21, 3( p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422 yx，代入)21, 3( 得12822 yx.⑹直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域②：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条； 区域③：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.例 1 已知双曲线 C:与点 p（1，2） ，求过点 p（1，2）的直线 l 的斜率的取值2222 yx范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有交点。

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐 近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若 P 在双曲线12222  byax，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准线的距离比为 m︰n. 简证：ePFePFdd2121 = nm.常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.例 2 过点 A（2，1）的直线与双曲线交于两点，求弦的中点 p 的122 2yx21, pp21pp轨迹方程 8.3 抛物抛物线线方程方程. 1 抛物抛物线线的的定义：平面内动点 p 到定点 F（焦点）的距离等于到 l（准线）的距离（一个焦点，一 条准线）2 方程. 设0fp，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22▲ yxF1F21234533图形▲yx O▲yxO▲yx O▲yx O焦点)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF准线2px2px 2py2py 范围Ryx , 0Ryx , 00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点 （0，0）离心率1e焦点 12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：①xcbyay2顶点)244(2ab abac.②)0(22ppxy则焦点半径 2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为 2PyPF.③通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.④pxy22（或pyx22）的参数方程为  ptyptx 222 （或 222ptyptx） （t为参数）.3 焦半径FP( , )x0y0x=p/2|PF|=20px 4 结论例 1 已知抛物线，直线 l 与抛物线相交于 AB，而且满足,证明 l 过定pxy22。