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1、1多项式多项式练习题参考答案练习题参考答案一、填空题一、填空题1.则被除所得的商式为,. 13)(, 14)(234xxxgxxxf)(xf)(xg22xx余式为.73x2则 1 ( ), ( ), ( ), ( ) ,( ) ( )( ) ( )2,f xg x u xv xP xu x f xv x g x且( ( ), ( )f xg x1 ( ( ), ( )u xv x3.10( ) 0,( )|( ), ( ( ), ( )n nnf xa xa xaP xaf xg xf xg xL且1( )nf xa4中是本原多项式的为1, 42 , 0),3)(1( , 232xxxxx22
2、,(1)(3),xxx.31x 5. 多项式的所有系数之和 200120002322002( )4(54)21(8112)f xxxxxx1 （取得到） ，常数项（取得到）.1x 200220x 6. 能被任一多项式整除的式项式是 零多项式 ；能整除任意多项式的多项式一定是 零次多项式 .7.多项式除以的余式为.( )f x(0)axb a( )bfa8. 设，则的值为 3232235(2)(2)(2)xxxa xb xc xd, , ,a b c d2，9，23，13 .9.在有理数上的标准分解式是.5432( )41048f xxxxxx23(1) (2)xx10. ，则 -6 ， 3 .
3、242322xxxmxpxm p 二、判断说明题二、判断说明题(先判断正确与错误先判断正确与错误,再简述理由再简述理由)1若则必为与的最大公因式.),()()()()(xdxgxvxfxu)(xd)(xf)(xg错.如，则，但( )1, ( )1, ( )1, ( )f xxg xxu xxv xx ( )1d xx 与互素.)(xf)(xg2若在 P 上不可约，且，则)(),()(| )(xpxgxfxp)()( | )(xgxfxp2且)(| )(xfxp).(| )(xgxp对.由在 P 上不可约可得或若)(),()(| )(xpxgxfxp)(| )(xfxp).(| )(xgxp，又
4、，因此，即)(| )(xfxp)()( | )(xgxfxp( )| ( )( )( )p xf xg xf x).(| )(xgxp3设为 P 上的多项式，且不可约.若为的重因式,则)(),(xfxp)(xp)(xp)(xfk必为的重因式)(xp)(xf1k错.如，是在 Q 上的 4 重因式，但不是25( )(2)5f xx22x )(xf22x 的因式.)(xf4有理系数多项式在 Q 上可约,则有有理根.)(xf)(xf错.如在 Q 上可约，但没有有理根.( )f x 4224(2)(2)xxx)(xf5.若是整系数多项式的根，为互素的整数，则.q p( )f x, p q()(1)pqf
5、对. 由是整系数多项式的根可得为的因式，即q p( )f xpxq( )f x，且是整系数的，取可得.( )() ( )f xpxq g x( )g x1x ()(1)pqf6.奇数次实系数多项式在实数域上一定有实根，因此在实数域上一定可约.错.一次实系数多项式有实根但不可约.7. 若且，则.( )( )f x h x( )( )g x h x( ) ( )( )f x g x h x错.缺互素.( ), ( )f xg x8. 若则.( ) |( )g xf x( ), ( )1f x g x错.如，但231|1xx23(1,1)1xxx9. 数域 P 上的任意一个不可约多项式在复数域内没有
6、重根.( )p x正确.10. 多项式有重根当且仅当有重因式.( )f x( )f x3与所考虑的范围有关，在复数域上正确，在其它数域上有重因式未必有重根.三、计算题三、计算题1设求以及, 12)(, 12)(3234xxxgxxxxxf)(),(xgxf使),(),(xvxu).(),()()()()(xgxfxgxvxfxu解：利用辗转相除法得2 112 122123( )( )( )( )( )(1),( )( )( )( )()(1)1,( )( )( )(1)().f xg x q xr xg x xxxg xr x qxr xxx xxr xr x q xxx 因此又( ( ),
7、( )1.f x g xx21212212( )( )( )( )( )( ( )( )( )( )( ) ( )(1( )( ).r xg xr x qxg xf xg x q x qxqx f xq x qx .2212( ( ), ( )( )( ) ( )(1( )( ) ( )f x g xr xqx f xq x qx g x 所以2 212( )( )1, ( )1( )( )1 (1)(1).u xqxxv xq x qxxxx 2设234)(235xxxxxf(1)判断在 R 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;)(xf(2)求在 R 上的标准分解式.)(xf解:（
8、1）运用辗转相除法可得：.42( )5383.fxxxx2( ( ),( )1f xfxxx为在 R 上二重因式.21xx)(xf(2)由(1)可得在 R 上的标准分解式为)(xf.22( )(1) (2)f xxxx解法 2: 的可能有理根为,经检验为的有理根,由综合除法可得)(xf1, 2 2)(xf2 101432 24642123210 因此有.为43222( )(2321)(2)(1) (2)f xxxxxxxxx21xx4在 R 上二重因式. 在 R 上的标准分解式为)(xf)(xf.22( )(1) (2)f xxxx3.已知，试确定的值，使有重根，并求其根.32( )638f
9、xxxpxp( )f x解:若有重根,则.( )f x23222( )() ()(2)(2)f xxaxbxab xaab xa b因此有解得或2226,23 ,8.abaabpa b 2, 2, 4.a b p 1, 8, 5.a b p 当时为的 3 重根;当时 1 为的 2 重根,-8 为单根.4p 2( )f x5p ( )f x解法 2:若有重根,则.( )f x( ( ),( )1f xfx.22( )31233(4)fxxxpxxp21( )( )(2)(28)(82 )3 (4)(2)(28)(1),f xfx xpxpxxp xpx.1( )(1)(5)(5)3fxxxp当时
10、, 为的 3 重根; 当时, 4p 3( )(2)f xx2( )f x5p ( ( ),( )f xfx,1 为的 2 重根,此时,-8 为单根.1x( )f x2( )(1) (8)f xxx4.已知是多项式的一个根，求其所有的根.1 i4324522xxxx解:由实系数多项式虚根成对性, 也是的根.1 i4324522xxxx.43222( )4522(22)(21)f xxxxxxxxx因此的所有根为,.( )f x1 i1 i12,125.当满足什么条件时，多项式有重根？, a b4( )4f xxaxb解:显然当时,0 为的四重根.当时,0ab( )f x0a .33( )444(
11、)fxxaxa5( )( )(3)4xf xfxaxb.23 2 2334444( )(3)()4392727bbbfxaxbxxaaaaa当时,为的二重根.显然也满足3427ba( ( ),( )3bf xfxxa3b a( )f x0ab.因此当时有重根.3427ba3427ba( )f x四、证明题四、证明题1设为正整数,证明:.2k( )|( )( )|( )kkf xg xfxgx证明:当时，有因此即有( )|( )f xg x( )( ) ( ),g xf x q x( )( )( ),kkkgxfx qx.( )|( )kkfxgx反之设12( )( )( )( )srrrf x
12、px pxpxL12( )( )( )( )smmmg xpx pxpxL其中是互不相同的不可约多项式,.由( ), ( ), ( )p xp xp xL0,0(1,2, )iirmisL可得,即.因此有.( )|( )kkfxgx(1,2, )iik rk m isL(1,2, )iirm isL( )|( )f xg x2设是整系数多项式,为整数,证明:)(xfa).(| )5()5(| )5(afafa证明:若，令，其中为整系数多项式， 为(5)|(5)af( )() ( )f xxa q xr( )q xr整数.由可得.因此有(5)(5) (5)fa qr(5)|(5)af0r .(
13、)() ( ). ( )0,(5)|( )f xxa q x f aaf a类似可证当(5)|( )(5)|(5).af aaf3.已知是数域上的多项式，且( ), ( ), ( )f xg xh xP, ,0,0a b cP ab ac22() ( )() ( )() ( ) () ( )() ( )() ( )xa f xxb g xxc h x xa f xxb g xxc h x则.22( ),( )xc f xxc g x证明:两式相加得:.由得.因此有22 ( ( )( )2() ( )x f xg xxc g x0c 2( ,)1x xc6.2( )( )xc f xg x两式相
14、减有,因此有.由2( )2( )0af xbg x22( )2( )xcaf xbg x及可得.又,因2( )( )xc f xg x22( )2( )xcaf xbg x2(22 ) ( )xcab f xab此有.类似有.2( )xc f x2( )xc g x4.设，证明：若，则只能是常数.0c ( )()f xf xc( )f x证明:反证法证明.假设不是常数. .在复数域上考虑, ( )f x( ( )f xn至少有一个复根.由可得( )f x( )()f xf xc.0( )()()(),ffcfccfkckNLL即都是的根,与至多有个根相矛盾.因此,2 ,cckc LL( )f x( )f xn为常数.( )f x
