《高考数学一轮专题精讲28：数列概念及等差数列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮专题精讲28：数列概念及等差数列（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 28 讲 数列概念及等差数列一 【课标要求】1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） ，了解数列是一种特殊函数；2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系二 【命题走向】数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求
2、比较高预测明年高考：1题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题三 【要点精讲】1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第二个位置的叫第 2 项，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a ，2a，3a，na，简记作 na。（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那
3、么这个公式就叫这个数列的通项公式例如，数列的通项公式是na= n（n7，nN） ，数列的通项公式是na= 1 n（nN） 。说明： na表示数列，na表示数列中的第n项，na= f n表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na= ( 1)n=1,21()1,2nkkZnk； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数(
4、 )f n 当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，( )f n ，通常用na来代替 f n，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列（5）递推公式定义：如果已知数列 na的第 1 项（或前几项） ，且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式2等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列
5、，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。（2）等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d 为常数列，0d 为递减数列。（3）等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abA a，A，b成等差数列2abA。（4）等差数列的前n和的求和公式：1 1()(1) 22n nn aan nSnad。四 【典例解析】题型 1：数列概念(安徽卷文）已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】135105a
6、aa 即33105a 335a 同理可得433a 公差432daa 204(204)1aad .选 B。【答案】B2.根据数列前 4 项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2）221 2，231 3，241 4，251 5；（3）1 1*2，1 2*3，1 3*4，1 4*5。解析：（1）na=21n； （2）na= 2(1)1 1n n ； （3）na= ( 1) (1)nn n 。点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。例 2数列 na中，已知21()3nnnanN，（1）写出10a ，1na，2na ； （2）
7、2793是否是数列中的项？若是，是第几项？解析：（1）21()3nnnanN，10a21010 1109 33，1na2211131 33nnnn，2na 2224211 33nnnn； （2）令279321 3nn，解方程得15,16nn 或，nN，15n ， 即2793为该数列的第 15 项。点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属题型 2：数列的递推公式例 3如图,一粒子在区域( , )|0,0x yxy上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B,接着按图中箭头所示方向在 x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。（1）设粒子从原点到达点nnnABC、时，所
8、经过的时间分别为nnna 、b 、c，试写出0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1A1xynnna、b 、c的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过 2004 秒后，它所处的坐标头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头。解析：(1) 由图形可设12(1,0),(2,0),( ,0)nAAA nL，当粒子从原点到达nA时，明显有13,a 211,aa311123 4,aaa 431,aa533205 4,aaa 651,aa 2123(21) 4,nna
9、an 2211,nnaa211435(21)naan L241n ,2 22114nnaan 。2 21212(21)441nnbannn,2 222 244nnbannn 。22 2121(21)42(21)(21)nncbnnnnn,22 22242(2 )(2 )nncannnnn,即2 ncnn。 （2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（4416）28 秒，所以24444282008t 秒。（3）由2 ncnn2004，解得1801712n ，取最大得 n=44，经计算，得44c 19800，又S6=S7，a1+a2+a6
10、=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然 C 选项是错误的。（2）答案：C解法一：由题意得方程组 1002) 12(22302) 1(11dmmmadmmma ，视m为已知数，解得212)2(10,40 mmamd，21040 2) 13(3)2(1032) 13(33221 13mmm mmmdmmamaSm。解法二：设前m项的和为b1，第m+1 到 2m项之和为b2，第 2m+1 到 3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。
11、b3=b2+d=70+40=110前 3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2S1=70，从而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前 3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。例 14在XOY平面上有一点列P1（a1，b1） ，P2（a2，b2） ，
12、Pn（an，bn） ，对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（10a）x（0a10的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。（）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（）若对每个自然数n，以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（） （理）设Bnb1，b2bn（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，求数列Bn的最大项的项数（文）设cnlg（bn） （nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，问数列cn前多少项的和最大?试说明理由。解析：.解：（）由题意，ann21，bn2000（10a）21n。（）函数y=2000（10a）x
13、（0a10）递减，对每个自然数n，有bnbn1bn2则以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn2bn1bn，即（10a）2（10a1）0，解得a5（15）或a5（51） ，5（51）a10（） （理）5（51）a10，a=7，bn2000（107）21n。数列bn是一个递减的正数数列.对每个自然数n2，BnbnBn1。于是当bn1 时，BnBn1，当bn1 时，BnBn1，因此，数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn1 且bn11。由bn2000（107）21n1，得n20.8，n=20。（文）5（51）a10，a=7，bn2000（107）21n。于是cnlg2000（1
14、07）21n3lg2（n21）lg0.7数列cn是一个递减的等差数列.因此，当且仅当cn0，且cn10 时，数列cn的前n项的和最大。由cn3lg2（n21）lg070，得n20.8，n=20。点评：本题主要考查函数的解析式，函数的性质，解不等式，等差、等比数列的有关知识，及等价转化，数形结合等数学思想方法.五 【思维总结】1数列的知识要点：（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集 N（或它的有限子集1，2，3，n， ）上的函数f（n） ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1） ，f（2） ，f（3） ，f（n） ，。数列的图象是由一群孤立的点构成的。（2）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要
