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1、永川中学 版权所有：邓红彦- 1 -高一数学必修高一数学必修 5 知识点网络知识点网络第二章第二章 数列数列111-1325,32)nnnnnnnanaaaaadaad n 项数分类：无穷数列和有穷数列分类项之间的关系分类：列表法通项法：如：数列的概念及简单表示表示方法解析法递推法：如：图像法单调性性质周期性：常用于求一般数列中序号较大的项（一般, T8）定义:或(等差数列递增数列、递减数列、常数列、摆动数列数列、（特殊 1,(1)()2200=0nmmnpqmnknnndaandanm dmnpqaaaamnkaaadddadab公式四项关系：若, 则特别的，若, 则（若序号是等差数列，对应
2、的项也是等差数列）通项性质：单调性：递增数列；递减数列；常数列；线性关系：1、（、是常数）是公差为的等差数列为常2、（、数）是常数 1 12321-1()(1)=2212,.2),nn nnmm mmmnnnnbn aan nSnadSn nSSSaaqq nqaa ,是等差数列）是等差数列公式:前项和、是等差数列性质：、片段和性质：是等差数列定义:或(非常数零公等比数列通项 (1)() 12211.2.()1(1)=1nn m nmmnpqmnknnnn nnnaa qa qmnpqa aa amnka aaaaaaaaaaqSq n 式四项关系：若, 则特别的，若, 则（若序号是等差数列，
3、对应的项是等比数列） 性质：单调性：理解即可等比数列的变形和组合：如、是等比数列公式:前项和232(1)11,.2nmm mmmn n mnmqqqSSSSSq S 、片段和性质：是等比数列性质：、相关和性质： 附知识考点： 1 1、数列的判定数列的判定（1 1）等差数列的判断方法：）等差数列的判断方法：定义法定义法：为等差数列。)(1常数daann an永川中学 版权所有：邓红彦- 2 - 中项法中项法： 为等差数列。aaannn212 an通项公式法通项公式法：（a,b 为常数）为等差数列。banan an前前 n n 项和公式法项和公式法：（A,B 为常数）为等差数列。BnnAsn2 a
4、n（2 2）等比数列的判断方法：）等比数列的判断方法：定义法定义法：，其中；1(nnaq qa为常数）0,0nqa 中项法中项法：；11nnnnaa aa(2)n 通项公式法通项公式法：（A 为常数）为等比数列。n nAqa an前前 n n 项和公式法项和公式法：（B 为常数）为等比数列。nnBBqs an【典型例题】设是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列为等差数列。nanaaanL21*nN nb2、已知成等差数列，求已知成等差数列，求的最值问题：的最值问题：sn“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的nn 最小值是所有非正项之
5、和。 已知已知关系关系，若,d0 且满足,则最小.01a0, 01aannsn 已知已知，因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nSnn；*nN 已知已知（对称的思想）pqSS若为偶数，则时，取最值；2pq 2pqnnS若为奇数，则或时，取最值且；2pq1 2pqn1 2pqnnS1 20p qa 如，则取最值，且411SS78SS8870aSS永川中学 版权所有：邓红彦- 3 -【典型例题】（1）若是等差数列，首项，则使前 n 项和成立的最大正整na10,a 200320040aa200320040aa0nS 数 n 是 （答：4006）（2）等差数
6、列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 （答：前 13 项和最大，na125a 917SS最大值为 169） ；3 3、等差中项和等比中项等差中项和等比中项等差中项：等差中项：若成等差数列，则 A 叫做与的等差中项，且。, ,a A bab2abA提醒提醒：（1 1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5 个元素：、及，其中、称n1adnnanS1ad作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2 2）为减少运算量，要注意设元的技巧设元的技巧，如奇数个奇数个数成等差，可设为，（公差为） ；偶数个偶数个数成等差，可设为，,（公差2 ,
7、 ,2ad ad a ad add3 ,3ad ad ad ad为 2）d等比中项：等比中项：如果 a、G、b 三个数成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，即 G=.ab提醒提醒：（1 1）不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。ab（2 2）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到 5 个元素：、及，其中、n1aqnnanS1a称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2；q（3 3）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为2 2, ,aaa aq aqqq） ；但偶数个偶数个数
8、成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，q3 3,aqaqqa qa且公比为。2q【典型例题】（1）如已知两个正数的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为_（答：, ()a b abAB）永川中学 版权所有：邓红彦- 4 -（2）如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）4 4、等差数列和等比数列的性质等差数列和等比数列的性质1、等差数列的性质、等差数列的性质（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数
9、，且斜率为公差；0d 11(1)naanddnadnd前和是关于的二次函数且常数项为 0.n2 11(1)()222nn nddSnadnann（2）单调性：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数0d 0d 0d 列。（3）四项关系：）四项关系：若,则有，特别地，当时，则有.mnpqqpnmaaaa2mnp2mnpaaa【典型例题】等差数列中，则_（答：27） ；na12318,3,1nnnnSaaaSn（4）片段和性质）片段和性质，也成等差数列；232,nnnnnSSSSS【典型例题】等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为
10、 。 （答：225）（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则.na nbnnSnT( )nnSf nT2121(21)(21)(21)nnnnnnanaSfnbnbT【典型例题】设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么nanbnnSnT3413 nn TSnn_（答：）nn ba62 87n n （6）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.nmab2、等比数列的性质、等比数列的性质永川中学 版权所有：邓红彦- 5 -（1） 四项关系：四项关系：
11、若时，则有，特别地，当时，则有.mnpqqpnmaaaa.2mnp2.pnmaaa【典型例题】（1 1）在等比数列中，公比 q 是整数，则=_（答：512） ；na3847124,512aaa a 10a（2 2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：na569aa3132310logloglogaaaL10） 。(2)(2) 单调性：若，或则为递增数列；若,或 则10,1aq10,01aqna10,1aq10,01aq为递减数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.na0q na1q na(3)(3) 片段和性质：片段和性质：若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当na1q 232,
12、nnnnnSSSSS，且为偶数时，数列 ，是常数数列 0，它不是等比数列. 1q n232,nnnnnSSSSS【典型例题】（1）已知且，设数列满足，且，则0a 1a nx1log1logananxx (*)nN12100100xxxL. （答：） ；101102200xxxL100100a（2）在等比数列中，为其前 n 项和，若，则的值为_（答：nanS140,1330101030SSSS20S40）3 3、等差数列和等比数列的联系、等差数列和等比数列的联系若是等差数列，则成等比数列；nanaa若是等比数列，且，则是等差数列。na0na logana5、数列求和的常用方法 1、公式法、公式法
13、： （已知数列的类型）：（已知数列的类型）：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查 其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式常用公式：，1123(1)2nn n L永川中学 版权所有：邓红彦- 6 -，222112(1)(21)6nn nnL33332(1)1232n nnL【典型例题】设等比数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a26,6a1a330，求 Sn.（答：Sn3(2n1)或 Sn3n1）（2）分组求和法分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。【典型例题】求：（答：）1 357( 1) (21)n nSn L( 1)nn已知，求Sn：22nnan（3）并项
