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1、九、排列、九、排列、组组合、二合、二项项式、概率：式、概率：一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一 种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的 和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而个步 骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有 各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的 积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能
2、完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即与类之间是相互独立的，即“分类完成分类完成” ；如果只有当；如果只有当个步骤都做完，这件事才能个步骤都做完，这件事才能n 完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成分步完成” 。二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出个元素的问题；n 区别：区别：前者有顺序，后者无顺序前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数：排列数的公式：排列数的公式：)()!(!) 1()2)(1(nmmnnmnnnnAmnL注
3、意：注意：全排列：全排列：；! nAnn记住下列几个阶乘数，记住下列几个阶乘数， 1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：（将从个不同的元素中取出个元素，分两步完成：1 1 m nm nnAAn)(nmm第一步从个元素中选出 1 个排在指定的一个位置上；n第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置1n1m1m 上）（将从个不同的元素中取出个元素，分两类完成：m nm nm nAmAA11 1 n)(nmm第一类：个元素中含有，分两步完成：ma 第一步将排在某一位置上，有不同的方法。am第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置1n1m1m 上）即有
4、种不同的方法。1 1 m nmA第二类：个元素中不含有，从个元素中取出个元素排在个ma1nmm位置上，有种方法。m nA1组合数的公式：组合数的公式：)()!( ! !) 1()2)(1(nmmnmn mmnnnn AACm mm nm nL组合数的性质：（从个不同的元素中取出个元素后，剩下个元素，也就是mn nm nCCnmmn 说，从个不同的元素中取出个元素的每一个组合，都对应于从nm 个不同的元素中取出个元素的唯一的一个组合。 ）nmn （分两类完成：第一类：含，有种方法；第二类：不含1 11 m nm nm nCCCa1 1 m nC，有种方法；）am nC1（第一步：先选出 1 个元
5、素，第二步：再从余下个元素中选出1 1 m nm nCmnC1n个，但有重复，如先选出，再选出组成一个组1m1amaaa,32L合，与先选出，再选出组成一个组合是相同的，且2amaaa,31L重复了次）m（分类：第一类：含，)(1 11 31 21 1nmCCCCCm mm nm nm nm n L1 mn1a为；第二类：不含，含，为；第三类：不含，不1 1 m nC1a2a1 2 m nC1a含，含，为；）2a3a1 3 m nC（将元素分成分成两个部分，m rnm rnrrnm rrnm rm nCCCCCCCC 11110Ln第一部分含个元素，第二部分含个元素：)(mrr)(mrnrn在
6、第一部分中取个元素，在第二部分不取元素，有；m0 rnm rCC在第一部分中取个元素，在第二部分取 1 个元素，有；1m11 rnm rCC） （3）排列、组合的应用： 解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还搞清需要分类，还 是需要分步是需要分步 切记：排组分清排组分清(有序排列、无序组合有序排列、无序组合)，分类分步明确，分类分步明确 排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或 组合题；排列组合综合题； 解排列组合的应用题，通常有以下途径：解排列组合的应用题，通常有以下途径： 以元素为主，即先满足特
7、殊元素的要求，再考虑其他元素以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊元素法特殊元素法 以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置特殊位置法特殊位置法 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数间接法间接法 （4）对解组合问题，应注意以下三点：）对解组合问题，应注意以下三点： 对对“组合数组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。 是用是用“直接法直接法”还是还是“间接法间接法”解组合题，其前提
8、是解组合题，其前提是“正难则反正难则反” 。 命题设计命题设计“分组方案分组方案”是解组合题的关键所在。是解组合题的关键所在。 （3）解排列、组合题的基本策略与方法：）解排列、组合题的基本策略与方法： 去杂法：去杂法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结 论。这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏分类不重复不遗漏。 即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 分步处理：分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决
9、时，常常分成若干步，再由分 步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其 原则是先分类，后分步先分类，后分步。 插入法（插空法）：插入法（插空法）：某些元素不能相邻某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元 素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 “捆绑捆绑”法：法：要求某些元素相邻某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素， 然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑” ，将特殊元素在这些位 置上全排列，即是“捆绑法” 。 穷举法：穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。 消序处理：消序处理：对均匀分组问题在解决时，一
10、定要区分开是“有序分组”还是“无序分 组” ，若是“无序分组” ，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。 三、二项式定理：)()(*110NnbCbaCbaCaCbann nrrnr nn nn nnLL（1）通项：)0(1nrbaCTrrnr nr （2）二项式系数的性质：）二项式系数的性质：二项展开式中，与首末两端二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两项的二项式系数相等，即：的两项的二项式系数相等，即：mn nm nCC二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，即当即当为偶数时，第为偶数时，第项的二项式系数最大
11、，为项的二项式系数最大，为；n12n2nnC当当为奇数时，第为奇数时，第项及项及项的二项式系数最大，为项的二项式系数最大，为；n21n121n21 21 nnnnCC二项展开式中所有项的二项式系数之和等于二项展开式中所有项的二项式系数之和等于，即，即；n2nn nnnCCC210L二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即；15314202n nnnnnnCCCCCCLL1321232nn nnnnnnCCCCL（3） 、展开式中展开式中的系数求法（的系数求法（的整数且的整数且）ncba)(rqpcb
12、a0,rqpnrqprqqrnq rnr nrrnr nnncbaCCcbaCcbacba )()()(如：展开式中含的系数为10)(cba523cba! 5! 2! 3!105 52 73 10CCC（4）二项式定理的应用：）二项式定理的应用： 求展开式中的指定的项或特定项：求展开式中的指定的项或特定项： 如：若，展开式中含有常数项，则的最小值是 n xx)12(32)(Nnn；求的展开式中的常数项。3)2|1|(|xx注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 求展开式中的某一项的系数
13、：求展开式中的某一项的系数：如：在的展开式中，的系数是 ；10)3( x6x求展开式中的系数和：求展开式中的系数和：如：的所有各项的系n nnxaxaxaaxxxLL2 2102)1 ()1 ()1 (数和是（赋值法：令） ；221n1xL420aaa2) 1() 1 ( ff；（令）L531aaa2) 1() 1 ( ffn nxaxaxaaxfL2 210)(求二项式展开式的系数最大项的问题：求二项式展开式的系数最大项的问题：求展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为；nbxa)( 121,nAAAL设第项系数最大，则；然后求出不等式组的整数解。1r 211rrrr AAAA如：求
14、展开式中系数最大的项。10)2(x利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：能被 64 整除（）98322nn*Nn证明有关的不等式问题：证明有关的不等式问题： 有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适 当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。；（）nxxn1)1 (2 2) 1(1)1 (xnnnxxn0x如：求证：n n)11 (2进行近似计算：进行近似计算：求数的次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的n 形式。当充分小
15、时，我们常用下列公式估计近似值：| x；nxxn1)1 (2 2) 1(1)1 (xnnnxxn如：求的近似值，使结果精确到 0.01；605. 1四、概率： （1）随机事件的概率： 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可 能发生的事件； 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率总是接近于某Anm个常数，在它的附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率；记作；)(AP范围：；特例：必然事件，不可能事件；1)(0AP1)(AP0)(AP（2）等可能事件的概率： 基本条件：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的n可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件包含n1A的结果有个，
