《高中数学必修1-5错解分析第4-5章修改稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修1-5错解分析第4-5章修改稿（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章第四章第四章 数列数列数列数列4.14.1 等差数列的通项与求和等差数列的通项与求和 一、知识导学一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1 项（或 首项），第 2 项，第 n 项，. 3.通项公式：一般地，如果数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关 系可以用一个公式来表示，则这
2、个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的 一种重要方法，其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用表示 8.等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么我们把2ba 叫做和的等差中项 2ba 二、疑难知识导析二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相 同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3） 数列看做一个定义域为
3、正整数集或其有限子集(1，2，3，n)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列an的前 n 项的和 Sn与 an 之间的关系：若 a1适 ).2(),1(11 nSSnSannn合 an(n2),则不用分段形式表示，切不可不求 a1而直接求 an.na4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=dn+ a1-d, an是关于 n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定na一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解：等差数列的前 n 项之和公式可变形为，若令 A
4、，Ba1，则An2+Bn.ndandSn)2(2122d 2dnS6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，n 中任意三个，可求其余两个。nS三、经典例题导讲三、经典例题导讲例 1已知数列 1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+（3n5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前 n 项之和.错因：误把最后一项（含 n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=101,显然3n+7 不是它的通项.正解：（1）an=3n2;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前 n
5、1 项的和.例 2 已知数列的前n项之和为 nannSn2212nnSn求数列的通项公式。 na错解错解： 34) 1() 1(2222nnnnnan nnnnnan21) 1() 1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了 anSnSn-1与的关系，没注意 a1=S1.正解正解： 当时，1n111 Sa当时，2n34) 1() 1(2222nnnnnan经检验 时 也适合，1n11a34 nan当时，1n311 Sa当时，2nnnnnnan21) 1() 1(122 nan23 )2() 1( nn例 3 已知等差数列的前 n 项之和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40等
6、于 na。错解错解：S30= S102d. d30， S40= S30+d =100.错因：将等差数列中 Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m成等差数列.正解正解：由题意：得 7022930301029101011dada152,521da代入得 S40 。1204023940401da例 4等差数列、的前 n 项和为 Sn、Tn.若求； na nb),(27417Nnnn TSnn77 ba错解错解：因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数，故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.1110 277417777ba错因：误认为nn TSnn
7、 ba正解正解：7992 2713411371313777777TS bbaa ba例 5已知一个等差数列的通项公式 an=255n，求数列的前 n 项和； na|na错解：错解：由 an0 得 n5前 5 项为非负，从第 6 项起为负， naSn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当 n6 时，Sn=a6+a7+a8+an2)5)(520(nnSn= 6,2)5)(520(5,50nnnn错因：一、把 n5 理解为 n=5，二、把“前 n 项和”误认为“从 n6 起”的和.正解正解： 6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn例 6已知一个等差数列的前 10 项的和是 3
8、10，前 20 项的和是 1220，由此可以确定求其前项和的公式吗？n解：解：理由如下：由题设： 31010S122020S得： 122019020310451011 dada 641 da nnnnnSn2362) 1(4例 7已知： （） （1） 问前多少项之和为n na12lg10243010. 02lg Nn最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：解：（1） 02lg102402lg)1 (10241nanann3403340112lg1024 2lg1024nn3402n（2） 0)2lg(2) 1(1024nnnSn当近于 0 时其和绝对值最小nnSS或0令： 即 1024+0
9、nS0)2lg(2) 1(nn得：99.680412lg2048n Nn6805n例 8项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证n21nnaa 和02qpxx此数列的和是方程 的根。 nS20)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx（）02nS证明：证明：依题意 paann1 paaaannn121npaanSn n2)(221 20)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx （获证） 。 0)lg(lg2npxnSnpx2四、典型习题导练四、典型习题导练1已知，求及。n nnSaa2311且nanS2设，求证：。) 1(433221nnanL2) 1( 2) 1(
10、2nannn3.求和: nLL3211 3211 21114.求和： )12()34()9798()99100(22222222L5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.cba,abcacbbca222,6.在等差数列中， ，则 （ ） 。 na40135 aa1098aaaA72 B60 C48 D367. 已知是等差数列，且满足，则等于_。 na)(,nmmananmnma8.已知数列成等差数列，且，求的值。 21na713,61153aa8a4.24.2 等比数列的通项与求和等比数列的通项与求和 一、知识导学一、知识导学 1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前
11、一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母表示 2. 等比中项：若，成等比数列，则称 为 和 的等比中项3.等比数列的前 n 项和公式： ) 1(11)1 () 1(111qqqaa qqaqanSnn n二、疑难知识导析二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项
12、或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比 数列，这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列. 4.在已知等比数列的 a1和 q 的前提下，利用通项公式 an=a1qn-1,可求出等比数列中的 任一项. 5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用 an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列an的通项公式 an=a1qn-1可改写为.当 q0，且 q1 时，n nqqaa1y=qx是一个指数函数，而是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此等比数xqqay1列an的图象是函数的图象上的一群孤立的点.xqqay17在解决等比数列问题时，如已知，a
13、1，an，d，n 中任意三个，可求其余两个。nS三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11 已知数列的前 n 项之和 Sn=aqn（为非零常数） ，则为（ ） 。 naqqa, 1, 0 naA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解错解：) 1(1 11 qaqaqaqSSannn nnnQ) 1(1 1 qaqSSan nnn（常数）qaann1为等比数列，即 B。 na错因：忽略了中隐含条件 n1.1nnnSSa正解正解：当 n1 时，a1=S1aq;当 n1 时，) 1(1 1 qaqSSan nnn（常数）qaann1但qqaa
14、112Q既不是等差数列，也不是等比数列，选 C。 na 例例 22 已知等比数列的前 n 项和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40等于. na错解错解：S30= S10q 2. q 27，q， S40= S30q =.7770错因：是将等比数列中 Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m成等比数列.正解正解：由题意：得， 701)1 (101)1 (30 110 1qqaqqa)(3210110101舍去或qqqaS40=.20011401）（qqa 例例 33 求和：a+a2+a3+an.错解错解： a+a2+a3+an.aan 11错因：是（1）数列an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前 n 项和公式（2）用等比数列前 n 项和公式应讨论 q 是否等于 1.正解正解：当 a0 时，a+a2+a3+an0;当 a1 时，a
