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1、第四章第四章第四章第四章 数列数列数列数列4.14.1 等差数列的通项与求和等差数列的通项与求和 一、知识导学一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，第 n 项，. 3.通项公式：一般地，如果数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示， 则这个
2、公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关 系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示 8.等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么2ba 我们把2ba 叫做和的等差中项 二、疑难知识导析二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就 是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数
3、集或其有限子集 (1，2，3，n)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列an的前 n 项的和 Sn与 an 之间的关系： ).2(),1(11 nSSnSannn若 a1适合 an(n2),则na不用分段形式表示，切不可不求 a1而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=dn+ a1-d, an是关于 n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解：等差数列的前 n 项之和公式可变形为ndandSn
4、)2(212，若令A2d，Ba12d，则nSAn2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲三、经典例题导讲例 1已知数列 1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+（3n5）是该数列的前几项之和. 错解：（1）an=3n+7; (2) 1+4+（3n5）是该数列的前 n 项之和. 错因：误把最后一项（含 n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=101,显然 3n+7 不是它的通项. 正解：（1）an=3n2; (2) 1+4+（3n5）是该数列的
5、前 n1 项的和.例 2 已知数列 na的前n项之和为 nnSn22 12nnSn 求数列 na的通项公式。错解错解： 34) 1() 1(2222nnnnnan nnnnnan21) 1() 1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了 anSnSn-1与的关系，没注意 a1=S1.正解正解： 当1n时，111 Sa当2n时，34) 1() 1(2222nnnnnan经检验 1n时 11a 也适合，34 nan当1n时，311 Sa当2n时，nnnnnan21) 1() 1(122 nan23)2() 1( nn例 3 已知等差数列 na的前 n 项之和记为 Sn，S10=10 ，S30=
6、70，则 S40等于 。错解错解：S30= S102d. d30， S40= S30+d =100. 错因：将等差数列中 Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m成等差数列.正解正解：由题意： 7022930301029101011dada 得152,521da代入得 S40 1204023940401da。例 4等差数列 na、 nb的前 n 项和为 Sn、Tn.若),(27417Nnnn TSnn求77 ba；错解错解：因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数，故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.1110 277417777ba错因：误
7、认为nn TSnn ba正解正解：7992 2713411371313777777TS bbaa ba例 5已知一个等差数列 na的通项公式 an=255n，求数列|na的前 n 项和；错解：错解：由 an0 得 n5 na前 5 项为非负，从第 6 项起为负，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当 n6 时，Sn=a6+a7+a8+an2)5)(520(nn Sn= 6,2)5)(520(5,50nnnn错因：一、把 n5 理解为 n=5，二、把“前 n 项和”误认为“从 n6 起”的和.正解正解： 6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn例 6已知一个等差数列的前
8、 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220， 由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：解：理由如下：由题设： 31010S 122020S得： 122019020310451011 dada 641 da nnnnnSn2362) 1(4例 7已知：n na12lg1024 （3010. 02lg） Nn （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：解：（1） 02lg102402lg)1 (10241nanann3403340112lg1024 2lg1024nn 3402n（2） 0)2lg(2) 1(1024nnnSn当nnSS或0近于 0 时其和绝对值
9、最小令：0nS 即 1024+0)2lg(2) 1(nn得：99.680412lg2048n Nn 6805n例 8项数是n2的等差数列，中间两项为1nnaa 和是方程02qpxx的两根，求证此数列的和nS2是方程 0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx的根。 （02nS）证明：证明：依题意paann1paaaannn121npaanSn n2)(221 20)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx 0)lg(lg2npx nSnpx2 （获证）。 四、典型习题导练四、典型习题导练1已知n nnSaa2311且，求na及nS。2设) 1(433221nnanL，求证
10、：2) 1( 2) 1(2nannn。3.求和: nLL3211 3211 21114.求和： )12()34()9798()99100(22222222L5.已知cba,依次成等差数列，求证：abcacbbca222,依次成等差数列.6.在等差数列 na中， 40135 aa，则 1098aaa（ ）。A72 B60 C48 D367. 已知 na是等差数列，且满足)(,nmmananm，则nma等于_。8.已知数列 21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。4.24.2 等比数列的通项与求和等比数列的通项与求和 一、知识导学一、知识导学 1. 等比数列：一般地，如果一个数列
11、从第项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示 2. 等比中项：若，成等比数列，则称 为 和 的等比中项3.等比数列的前 n 项和公式： ) 1(11)1 () 1(111qqqaa qqaqanSnn n二、疑难知识导析二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第 2
12、项起，而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个 等比数列. 4.在已知等比数列的 a1和 q 的前提下，利用通项公式 an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项. 5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用 an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列an的通项公式 an=a1qn-1可改写为n nqqaa1.当 q0，且 q1 时，y=qx是一个指数函数，而xqqay1是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数xqqay1的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数
13、列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11 已知数列 na的前 n 项之和 Sn=aqn（qqa, 1, 0为非零常数），则 na为（ ）。A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列，也不是等比数列 D.既是等差数列，又是等比数列错解错解：) 1(1 11 qaqaqaqSSannn nnnQ) 1(1 1 qaqSSan nnnqaann1（常数） na为等比数列，即 B。错因：忽略了1nnnSSa中隐含条件 n1.正解正解：当 n1 时，a1=S1aq;当 n1 时，) 1(1 1 qaqSSan nnnqaann
14、1（常数）但qqaa112Q na既不是等差数列，也不是等比数列，选 C。 例例 22 已知等比数列 na的前 n 项和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40等于.错解错解：S30= S10q 2. q 27，q7， S40= S30q =770.错因：是将等比数列中 Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m成等比数列.正解正解：由题意： 701)1 (101)1 (30 110 1qqaqqa得 )(3210110101舍去或qqqa，S40=20011401）（qqa. 例例 33 求和：a+a2+a3+an.错解错解： a+a2+a3+anaan 11.错因：是（1）数列an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前 n 项和公式（2）用等比数列前 n 项和公式应 讨论 q 是否等于 1. 正解正解：当 a0 时，a+a2+a3+an0;当 a1 时，a+a2+a3+a
