《高中数学（2.2函数的表示法第3课时）示范教案新人教A版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（2.2函数的表示法第3课时）示范教案新人教A版必修1（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学高中数学 （2.22.2 函数的表示法函数的表示法 第第 3 3 课时）示范教案课时）示范教案 新人教新人教 A A 版必版必修修 1 1导入新课导入新课 思路思路 1.1.复习初中常见的对应关系 1.对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 P 和它对应. 2.对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应. 3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应. 4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的坐位与它对应. 5.函数的概念. 我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱 化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可
2、以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这 种对应就叫映射(板书课题). 思路思路 2.2.前面学习了函数的概念是:一般地,设 A,B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则 f,对 于集合 A 中的每个元素 x,在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应. (1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应. (2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应. (3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应. 那么这些对应又有什么特点呢？ 这种对应称为映射.引出课题. 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 给出以下对应关系:图 1-2-2-20 这三个对应关系有什么共同
3、特点？ 像问题中的对应我们称为映射,请给出映射的定义？ “都有唯一”是什么意思？ 函数与映射有什么关系？ 讨论结果：讨论结果：集合 A、B 均为非空集合,并且集合 A 中的元素在集合 B 中都有唯一的元素与 之对应. 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:AB 为从集 合 A 到集合 B 的一个映射.记作“f:AB”. 如果集合 A 中的元素 x 对应集合 B 中元素 y,那么集合 A 中的元素 x 叫集合 B 中元素 y 的原 象,集合 B 中元素 y 叫
4、集合 A 中的元素 x 的象. 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一. 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 应用示例应用示例 思路思路 1 1 1.下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？ (1)A=P|P 是数轴上的点,B=R R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A=P|P 是平面直角坐标系中的点,B=(x,y)|xR R,yR R,对应关系 f:平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应; (3)A=三角形,B=x|x 是圆,对应关系 f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A=x|x 是新华中学的班级,B=x|
5、x 是新华中学的学生,对应关系 f:每一个班级都对应 班里的学生. 活动：活动：学生思考映射的定义.判断一个对应是否是映射,要紧扣映射的定义. (1)中数轴上的点对应着唯一的实数; (2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对; (3)中每一个三角形都有唯一的内切圆; (4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生. 解：解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射; (4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义. 变式训练变式训练 1.图 1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元素的对应法则,是不是映 射
6、？图 1-2-2-21 答案：答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是. 2.在图 1-2-2-22 中的映射中,A 中元素 60的对应的元素是什么？在 A 中的什么元素与 B中元素对应？22图 1-2-2-22答案：答案：A 中元素 60的对应的元素是,在 A 中的元素 45与 B 中元素对应.23 22思路思路 2 2 1.下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射,为什么？ (1)A=R R,B=xR R|x0,对应法则是“求平方”; (2)A=R R,B=xR R|x0,对应法则是“求平方”; (3)A=xR R|x0,B=R R,对应法则是“求平方根”; (4)A=平面内的圆
7、,B=平面内的矩形,对应法则是“作圆的内接矩形”. 活动：活动：学生回顾映射的对应,教师适时点拨或提示.判断一个对应是否是映射,关键是确定是 否是“一对一”或“多对一”的对应,即集合 A 中的任意一个元素,在集合 B 中都有唯一确 定的元素与之对应. 解：解：(1)是映射,因为 A 中的任何一个元素,在 B 中都能找到唯一的元素与之对应. (2)不是从集合 A 到集合 B 的映射,因为 A 中的元素 0,在集合 B 中没有对应的元素. (3)不是从集合 A 到集合 B 的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合 A 中的任何元 素,在集合 B 中都有两个元素与之对应. (4)不是从集合 A
8、 到集合 B 的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合 A 中任何一个元 素在集合 B 中有无穷多个元素与之对应. 点评：点评：本题主要考查映射的概念.给定两集合 A、B 及对应法则 f,判断是否是从集合 A 到集 合 B 的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:AB 的对应有“多对一”,“一对一”, “一对多”,前两种对应是 A 到 B 的映射,而后一种不是 A 到 B 的映射. 变式训练变式训练 1.设集合 A=a,b,c,集合 B=R R,以下对应关系中,一定能建立集合 A 到集合 B 的映射的是( ) A.对集合 A 中的数开平方 B.对集合 A 中的数取倒数 C.对集合 A
9、中的数取算术平方根 D.对集合 A 中的数立方 分析:当 a1,即 p 的取值范围是(1,+); (方法二)当 p=0 时,方程-x2+2x=0 有解 x=0,2, 即在 M 中存在原象 0 和 2, 则 p=0 不合题意,排除 C,D; 当 p=1 时,方程-x2+2x=1 有解 x=1, 即在 M 中存在原象 1, 则 p=1 不合题意, 排除 B. 答案：答案：A 点评：点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本 题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值 域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对
10、函数与映射关系的把握程度. 变式训练变式训练 设 f,g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 表 1 映射 f 的对应法则原象1234 象3421 表 2 映射 g 的对应法则原象1234 象4312 则与 fg(1)相同的是( ) A.gf(1) B.gf(2) C.gf(3) D.gf(4) 分析:f(a)表示在对应法则 f 下 a 对应的象,g(a)表示在对应法则 g 下 a 对应的象. 由表 1 和表 2,得 fg(1)=f(4)=1,gf(1)=g(3)=1,gf(2)=g(4)=2,gf(3)=g(2) =3,gf(4)=g(1)=4, 则有 fg(1)=g
11、f(1)=1, 故选 A.答案：答案：A 知能训练知能训练 1.下列对应是从集合 S 到 T 的映射的是( ) A.S=N N,T=-1,1,对应法则是(-1)n,nS B.S=0,1,4,9,T=-3,-2,-1,0,1,2,3,对应法则是开平方C.S=0,1,2,5,T=,对应法则是取倒数21 51D.S=x|xR R,T=y|yR R,对应法则是 xy=分析:判断映射方法简单地说应考虑 Axx 11中的元素是否都可以受 f 作用,作用的结果是否一定在 B 中,作用的结果是否唯一这三个方 面.很明显 A 符合定义;B 是一对多的对应;C 命题中的元素 0 没有象;D 命题集合 S 中的元素
12、 1 也无象. 答案：答案：A 2.已知集合 M=x|0x6,P=y|0y3,则下列对应关系中不能看作从 M 到 P 的映射的 是( )A.f:xy=x B.f:xy=x C.f:xy=x D.f:xy=x21 31 61分析:选项 C 中,集合 M 中元素 6 没有象,其他均是映射. 答案：答案：C 3.已知集合 A=N N*,B=a|a=2n-1,nZ Z,映射 f:AB,使 A 中任一元素 a 与 B 中元素 2a-1 对 应,则与 B 中元素 17 对应的 A 中元素是( )A.3 B.5 C.17 D.9 分析:利用对应法则转化为解方程.由题意得 2a-1=17,解得 a=9. 答案
13、：答案：D 4.若映射 f:AB 的象的集合是 Y,原象的集合是 X,则 X 与 A 的关系是;Y 与 B 的关系是. 分析:根据映射的定义,可知集合 A 中的元素必有象且唯一;集合 B 中的元素在集合 A 中不一 定有原象.故象的集合是 B 的子集.所以 X=A,YB. 答案：答案：X=A YB 5.已知集合 M=a,b,c,d,P=x,y,z,则从 M 到 P 能建立不同映射的个数是. 分析:集合 M 中有 4 个元素,集合 P 中有 3 个元素,则从 M 到 P 能建立 34=81 个不同的映射. 答案：答案：81 6.下列对应哪个是集合 M 到集合 N 的映射？哪个不是映射？为什么？
14、(1)设 M=矩形,N=实数,对应法则 f 为矩形到它的面积的对应.(2)设 M=实数,N=正实数,对应法则 f 为 x.|1 x(3)设 M=x|0x100,N=x|0x100,对应法则 f 为开方再乘 10. 解：解：(1)是 M 到 N 的映射,因为它是一对一的对应. (2)不是映射,因为当 x=0 时,集合 M 中没有元素与之对应. (3)是映射,因为它是一对一的对应. 7.设集合 A 和 B 都是自然数集,映射 f:AB 把 A 中的元素 n 映射到 B 中的元素 2n+n,则在 映射 f 下,A 中的元素_对应 B 中的元素 3.( )A.1 B.3 C.9 D.11 分析:对应法
15、则为 f:n2n+n,根据选项验证 2n+n=3,可得 n=1.答案：答案：A 8.已知集合 A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a,且 aN N,kN N,xA,yB,映射 f:AB,使 B 中 元素 y=3x+1 和 A 中元素 x 对应,求 a 及 k 的值. 分析:先从集合 A 和对应法则 f 入手,同时考虑集合中元素的互异性.可以分析出此映射必为 一一映射,再由 310,求得 a 值,进而求得 k 值. 解：解：B 中元素 y=3x+1 和 A 中元素 x 对应, A 中元素 1 的象是 4;2 的象是 7;3 的象是 10,即 a4=10 或 a2+3a=10.aN N, 由 a2+3a=10,得 a=2. k 的象是 a4, 3k+1=16,得 k=5.a=2,k=5. 9.A=(x,y)|x+y0),l=2.22xdx20202d9.由题意,可知容器内溶液高度为 x 的体积等于注入的溶液的体积,即 ()2x=vt,整理2d得 x=t.24 dv 当容器注满时有 ()2h=vt,得 t=.2d vhd 42所以该函数的定义域是 t0,
