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1、 解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） 例 、由可以组成多少个没有重复数字五位奇数？101,2,3,4,5， 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从三个数中任选一个共有种组合；然后排首位，从和剩余的两个奇数中任选一个共有种组1,3,51 3C2,41 4C合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有种排列。由分步计数原理得。3 4A113 344288C C A 变式 、种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有17 多 少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限
2、制的四个花盒中共有种排列，再种其它葵花有种排列。2 4A5 5A由分步计数原理得。25 451440A A 二、相邻问题捆绑法 例、人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？27分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成 一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得。522 522480A A A 变式、某人射击枪，命中枪，枪命中恰好有枪连在一起的情形的不同种数为 。28443分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有种排列。2 5A三、相离问题插空法 例 、
3、一个晚会节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？3423分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排个相声和个独唱共有种排列，第二步将235 5A个舞蹈插入第一步排好后形成的 6 个空位中（包含首尾两个空位）共有种排列，由分步计数原理得44 6A。54 5643200A A 变式 、某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新35 节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。 分析：将个新节目插入原定个节目排好后形成的 6 个空位中（包含首尾两个空位）共有种排252 6A列，由分步计数原理得。 2 630A 四、定序问
4、题除序（去重复） 、空位、插入法 例、人排队，其中甲、乙、丙人顺序一定，共有多少种不同的排法？473 分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这 几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：。7 7 3 3840A A（空位法）设想有把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有种坐法；甲、乙、丙74 7A坐其余的三个位置，共有 种坐法。总共有种排法。14 7840A 思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有种选法；余下四个空座位让其余四3 7C人就坐，共有种
5、坐法。总共有种排法。4 4A34 74840C A 变式、人身高各不相等，排成前后排，每排人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的4105 排法？ 分析：人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；10现排成前后两排，因此共有种排法。5 10252C五、平均分组问题倍除法（去重复法） 例 、本不同的书平均分成堆，每堆本，有多少种不同的分法？5632分析：分三步取书有种分法，但存在重复计数。记本书为，若第一步取，222 642C C C6ABCDEFAB第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有、CDEFABCDEF，222 642C C CABCDEF
6、，、共种分法 ，而这些分ABCDEF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDEF，3 3A法仅是一种分法。总共应有种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，ABCDEF，222 642 3 3C C C A都是一种情况，分组后一定要除以（为均分的组数） ，避免重复计数。n nAn变式 、将个球队分成组，一组个队，其它两组个队，有多少种不同的分法？513354分析：分三步。第一步取个队为一组，有种分法；余下个队平均分成两组，每组个队，有55 13C84种分法，但存在重复计数。记个队为，若第二步取，第三步取，44 84C C8ABCDEFGHABCDEFGH该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法
7、是同ABCDEFGH，44 84C CEFGHABCD，2 2A2 2A一种分法。总共应有种分法。44 584 132 2C CCA变式 、名学生分成组，其中一组人，另两组人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不510343 同的分组方法？分析：总的分组方法：分三步。第一步取人为一组，有种分法；余下个人平均分成两组，44 10C6每组个人，有种分法，但存在重复计数。记个人为，若第二步取，第三步取333 63C C6ABCDEFABC，该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法是DEFABCDEF，33 63C CDEFABC，2 2A2 2A同一种分法。总共应有种分法。33 463 102 2
8、2100C CCA正、副班长同分在人一组：分三步。第一步在人中取人，加上正、副班长共人为一4824组，有种分法；余下个人平均分成两组，每组个人，有种分法，但存在重复计数。记个2 8C6333 63C C6人为，若第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有ABCDEFABCDEFABCDEF，33 63C C共种分法，而这种分法是同一种分法。总共应有种分法。DEFABC，2 2A2 2A33 263 82 2280C CCA正、副班长同分在人一组：分三步。第一步在人中取人，有种分法；第二步在余3844 8C下的人中取人，有种分法；第三步余下 人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有433
9、 4C1种分法。43 84280C C 减减得：总共有种分法。3333 42436363 1088422 2221002802801540C CC CCCC CAA变式 、某校高二年级共有个班级，现从外地转入名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安564 排名，则不同的安排种数为 。2分析：分三步。前两步将转入的名学生平均分成两组，每组名学生，有种分法，但存在重4222 42C C复计数。记名学生为，若第一步取，第二步取，该分法记为，则在4ABCDABCDABCD，中还有共种分法，而这种分法是同一种分法。第三步将分成的两组分配到个22 42C CCDAB，2 2A2 2A6班级，有种分法。总共
10、应有种分法。2 6A22 242 62 290C CAA六、元素相同问题隔板法例、有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？ 6107分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配 个名额，只有 种分法；第二步：将剩下11 的个名额分配给个班。取块相同隔板，连同个相同名额排成一排，共个位置。由隔板法377 16 39知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原966 9C理知，共有种分法。6 984C 变式、个相同的球装入个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？ 6105分析：分两步。第一步：每盒先装入 个球，只有 种装法；第二步：将剩下
11、的个球装入个盒中。1155 取块相同隔板，连同个相同的球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个5 14 5994位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有种装法。4 9C4 9126C 变式、，求这个方程的自然数解的组数。 6100xyzw分析：取块相同隔板，连同个相同的 排成一排，共个位置。由隔板法知，在4 13 1001103个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一组数，共有10333 103C组数。3 103176851C七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） 例、从十个数字中取出三个，使其和为不小于的偶数，不同的
12、取法有多少种？7012 3 4 5 6 7 8 9，10分析：直接求不小于的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有个偶数个奇数，所取的1055三个数字含有个偶数的取法有，只含有 个偶数的取法有，和为偶数的取法共有。33 5C112 55C C123 555C CC淘汰和小于的偶数共种、109024、，0260 1 3 0 1 5 0 1 7 0 1 9 2 1 3 2 1 5 4 1 3 符合条件的取法共有。123 5559C CC变式、一个班有名同学，从中任抽人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?7435分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有种；正、副班长、团支部书记至
13、少抽到一人的抽5 40C法有种。55 4340CC八、重排问题求幂法 例 、把名实习生分配到个车间实习，共有多少种不同的分法？867分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有种分法，把第二名实习生分配到车间也7有种分法，依此类推，由分步计数原理共有种不同的分法。767 变式 、某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个85 新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。 分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定个节目排后形成的六个空中，有种插法；把56 第二个新节目插入前面个节目排后形成的七个空中，有种插法。由分步计数原理共有种不676 742
14、 同的插法。 变式 、某层大楼一楼电梯上来名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？888分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有种下法，第二名乘客下电梯也有种下法，依此77类推，由分步计数原理共有种不同的下法。87 九、环（圆）排问题直排法 环形排列问题：如果在圆周上个不同的位置编上不同的号码，那么从个不同的元素的中选取mn 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从个不同的元素的中选mn 取个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排m 列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。 环形排列数： 一个个元素的
15、环形排列，相当于一个有个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就mm 是形成一个直线排列，即一个个元素的环形排列对应着个直线排列。mm设从个元素中取出个元素组成的环形排列数为个，则对应的直线排列数为个。nmNmN又因为从个元素中取出个元素排成一排的排列数为个，所以，即。nmm nAm nmNA1m nNAm环形排列数公式：从个元素中取出个元素组成的环形排列数为。nm1m nNAm个元素的环形排列数为。n1!1 !n nnNAnnn例 、人围桌而坐，共有多少种坐法？98分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线（如图所示） ，其余人共有种不同的坐法。78 1 !7!7 6 5 4 3 2 15040 HFDCA ABCDEABEGHGF变式 、颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 96分析：可穿成种不同的钻石圈。6 1 !5!5 4 3 2 1120 十、多排问题单排法 例、人排成前后两排，每排人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？1084分析：人排前后两排，相当于人坐把椅子，可以把椅子排成一排。先排前个位置上的个特88842殊元素甲、乙有种排法；再排后个位置上的个特殊元素丙有种；其余的人在个位置上任
