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1、连续介质力学连续介质力学连续介质力学连续介质力学理学院力学系 韩斌2009-032009-06第三章 守恒定律和连续介质热力学(a)第三章 守恒定律和连续介质热力学(a)312第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学引言引言3 3 3 3 守恒定律和连续介质热力学守恒定律和连续介质热力学守恒定律和连续介质热力学守恒定律和连续介质热力学 3.1 引言引言本章将讨论经典物理学中描述物质运动基本规 律的各个守恒定律本章将讨论经典物理学中描述物质运动基本规 律的各个守恒定律守恒定律守恒定律在连续介质力学范畴内的表 达形式，包括：质量守恒；动量守恒；动量矩 守恒；能量守恒（热力学第一
2、定律）；熵不等 式（热力学第二定律）。 研究对象：连续介质模型 适用尺度范围：各物质点的速度较低，物体之间距离较小在连续介质力学范畴内的表 达形式，包括：质量守恒；动量守恒；动量矩 守恒；能量守恒（热力学第一定律）；熵不等 式（热力学第二定律）。 研究对象：连续介质模型 适用尺度范围：各物质点的速度较低，物体之间距离较小略 去相对论效应物体的尺寸远大于原子尺度略 去相对论效应物体的尺寸远大于原子尺度略去量子效应略去量子效应1. 1.基本概念基本概念基本概念基本概念3第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学引言引言研究连续介质模型的基本单元：研究连续介质模型的基本单元： 代表
3、性物质点代表性物质点某点邻域的无限小体积元某点邻域的无限小体积元2. 2.守恒定律的一般表达式守恒定律的一般表达式守恒定律的一般表达式守恒定律的一般表达式某物理量在物体体积上的物质积分某物理量在物体体积上的物质积分,其时间变 化率等于该物理量的源其时间变 化率等于该物理量的源源源在该体积上的物质积 分与通过物体表面在该体积上的物质积 分与通过物体表面“流入流入”的该物理量的流的该物理量的流流流的 面积分之和。的 面积分之和。+= vvvdsndvdvdtd)(rrrr即即:(3.1)守恒定律的总体形式守恒定律的总体形式(积分形式积分形式)充分小充分小:可以应用微分求导等数学工具 足够大可以应用
4、微分求导等数学工具 足够大:包含了大量微观粒子包含了大量微观粒子,各量为其 统计平均值体积元各量为其 统计平均值体积元此处的此处的“守恒守恒”含义为某种物理量的含义为某种物理量的“收支平衡收支平衡”4第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学引言引言nn若对任取积分域若对任取积分域,上式都成立上式都成立,则可得守恒定律的 局部形式则可得守恒定律的 局部形式(微分形式微分形式):rrrr=)(记为积分域外法线单位矢量记为积分域外法线单位矢量, 为比高为比高1阶的张量阶的张量:rrnr利用张量场函数的利用张量场函数的Green积分公式积分公式: = vvdvad)(rrr(3.1
5、)守恒定律的总体形式守恒定律的总体形式(积分形式积分形式)+= vvvaddvdvdtdrrrr+= vvvdsndvdvdtd)(rrrr式中为同阶的张量式中为同阶的张量.rrr,(3.1)5第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学引言引言dvvdivdtddvdtdvv ) (+=rrrr再利用输运定理再利用输运定理(2.123)式：式：即守恒定律的局部形式即守恒定律的局部形式(微分形式微分形式)。由于积分域为任意由于积分域为任意,故故:0) ()(=+rrrrrvdivdtd(3.3)+=+ vvdvdvvdivdtd)() ()(rrrrr(3.2) 也为守恒定律的
6、总体形式也为守恒定律的总体形式(积分形式积分形式)(3.1)” 守恒定律的另一 种总体形式守恒定律的另一 种总体形式+= vvvdvdvdvdtdrrr6第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学引言引言advdvdvdtdtttvvvrrrrr+=)(若利用输运定理若利用输运定理(2.124):+=+ vvdvdvv)()()(rrrrr(3.4)守恒定律的总体形式（积分形式）也可为：守恒定律的总体形式（积分形式）也可为：0)(=+rrrrrvt(3.5)即守恒定律的局部形式即守恒定律的局部形式(微分形式微分形式)也可为：也可为：(3.1)” 守恒定律的另一 种总体形式守恒
7、定律的另一 种总体形式+= vvvdvdvdvdtdrrr7第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学质量守恒质量守恒3.2 质量守恒质量守恒= VvdVdv0t0时刻任取占有体积时刻任取占有体积 V 的物体的物体,其总质量为变形后在任意其总质量为变形后在任意 t 时刻占有体积时刻占有体积 v ,其总质量为其总质量为vdv其中其中, 分别为参考构形和当 前构形中的质量密度分别为参考构形和当 前构形中的质量密度,则质量守恒关系为则质量守恒关系为:),(txr=VdV0),(000tXr=上式表明总质量是不生不灭的。上式表明总质量是不生不灭的。0)(0=VdVJ(3.6)利用体积
8、比关系利用体积比关系(2.49) 及代入及代入JdVdv =),(tXxxrrr=此式为此式为LagrangeLagrange型质量守恒关系的积分形式型质量守恒关系的积分形式型质量守恒关系的积分形式型质量守恒关系的积分形式8第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学质量守恒质量守恒0)(0=VdVJ(3.6)上式若对任意体积成立上式若对任意体积成立,则则:可取可取(3.2)式中 为式中 为1, 为为0, 为为0得得:此式为此式为LagrangeLagrange型质量守恒关系的积分形式型质量守恒关系的积分形式型质量守恒关系的积分形式型质量守恒关系的积分形式此式为此式为Lagra
9、ngeLagrange型质量守恒关系的微分形式型质量守恒关系的微分形式型质量守恒关系的微分形式型质量守恒关系的微分形式LagrangeLagrange型连续性方程型连续性方程型连续性方程型连续性方程rrr0)(=+dvvdiv vr(3.32)当前构形当前构形r中中 Euler坐标系坐标系xi 下的运动方程下的运动方程afrrr=+(3.31)当前构形当前构形r中中1)在当前构形在当前构形r中的动量守恒定律微分形式中的动量守恒定律微分形式若当前构形中若当前构形中(3.20)对任意体积成立对任意体积成立,并利用并利用Gauss积分公式积分公式,得：得：= vvdvdsnrrr22第三章守恒定律和
10、连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学动量守恒动量守恒若在当前构形若在当前构形r中采用中采用Lagrange随体坐标系随体坐标系 XA, t :对静力学问题对静力学问题,则退化为当前构形则退化为当前构形r中的 静力平衡方程中的 静力平衡方程静力平衡方程静力平衡方程：AABABaf=+;(3.35)当前构形当前构形r中中Lagrange随体坐标系随体坐标系 XA, t 下的运动方程下的运动方程0=+frr(3.33)0;=+ijijf(3.34)当前构形当前构形r中中当前构形当前构形r中中 Euler坐标系坐标系xi 下的平衡方程下的平衡方程23第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律
11、和连续介质热力学动量守恒动量守恒对于运动对于运动(或平衡或平衡)方程方程(3.31)-(3.35),应注意均是建 立在变形后的当前构形应注意均是建 立在变形后的当前构形r中的，对于实际问题， 通常已知的是变形前的构形中的，对于实际问题， 通常已知的是变形前的构形R，而变形后的构形 则是待求的，且一般情形下方程是非线性的。，而变形后的构形 则是待求的，且一般情形下方程是非线性的。afrrr=+(3.31)+= VTVVdSNFJdVfdVarrrrr)(00参考构形中参考构形中参考构形中参考构形中LagrangeLagrange型动量守恒积分方程：型动量守恒积分方程：型动量守恒积分方程：型动量守
12、恒积分方程：(3.21)2)在参考构形在参考构形R中的动量守恒定律微分形式中的动量守恒定律微分形式+= VVVdSNSdVfdVarrrr00(3.21)即即24第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学动量守恒动量守恒afSrrr00=+(3.36)参考构形参考构形R中式中是定义在中式中是定义在R中的中的Lagrange坐标系坐标系 XA中的中的 Hamilton算子算子,上式称为上式称为Boussinesq动量方程。动量方程。(3.36)的分量形式为：的分量形式为：若参考构形中若参考构形中(3.21)对任意体积成立对任意体积成立,并利用并利用 Gauss积分公式积分公式,
13、得：得：iiBiBafS00;=+(3.37)注意是两点张量，它同时是的函数，且注意是两点张量，它同时是的函数，且SrtxX,rr),(tXxxrrr=j Bi jkkBjiBB BMiMBiBBiBxSSSSS,;)()(+=(3.38)25第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学动量守恒动量守恒在参考构形在参考构形R中还可以得出以第二类中还可以得出以第二类Piola-Kirchhoff应力表示的动量方程，应力表示的动量方程，BAABGGTTrrr=afTFrrrr00)(=+(3.39)即即BMMB BAABM MGCTGGTGCTFSrrrrrrrrr=由由(3.23
14、)得根据得根据AMAA MAMA MMMMMGUGUGXu XX XxC rrrrrrr)(;+=+=+=buXxrrrr+=BBGUurr=为位移矢量又由为位移矢量又由(3.23)得代入得代入Boussinesq动量方程动量方程(3.36) :TFSrrr=afSrrr00=+26第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学动量守恒动量守恒BAAB BAMAA MMB BMMBGGSGGUTGCTSrrrrrrr=+=)(;MBMAA MABTUS)(;+=动量方程动量方程(3.39) 的分量形式：的分量形式：afTFrrrr00)(=+AA BMBMAA MafTU00;)
15、(=+(3.40) 上式称为上式称为Kirchhoff动量方程。动量方程。3. 3. 动量守恒方程的率形式动量守恒方程的率形式动量守恒方程的率形式动量守恒方程的率形式率形式的动量方程率形式的动量方程(即动量方程两边求导即动量方程两边求导)在某 些情形下在某 些情形下(例如塑性力学例如塑性力学)是非常重要的。是非常重要的。27第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和连续介质热力学动量守恒动量守恒afSrrr00=+(3.36)参考构形参考构形R中中对对R中的中的Lagrange坐标系坐标系 XA下的下的Boussinesq动量方程动量方程(3.36)求物质导数：求物质导数：00adtdfdtdSdtdrrr =+(3.41)afS&r&r&r00=+率形式的动量方程率形式的动量方程28第三章守恒定律和连续介质热力学第三章守恒定律和
