证明孪生素数无穷存在

《证明孪生素数无穷存在》由会员分享，可在线阅读，更多相关《证明孪生素数无穷存在（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 1 证明孪生素数无穷存在 邹山中 （广州市捷盛科技有限公司 广州 5 1 0 6 2 0 ） E- mail: 摘 要 一种新的数论方法“梳子法” ，将自然数分为两种不同的元素s元素和一h元 素，用梳子法梳选自然数集中的元素，通过分析剩余元素的分布情况，证明了孪生素数无穷 存在。 关键词 s元素、h元素、梳子法、纯距离、杂距离。 1 引言 所谓孪生素数,指的就是间隔为 2 的相邻素数， 就像孪生兄弟一样。 最小的孪生素数是 (3, 5)，在 100 以内的孪生素数还有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和 (7

2、1, 73)，总计有 8 组。但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏,那么,是否存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数呢。这就是“孪生素数猜想” 1迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润利用“筛法”2(sieve method) 所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 要么是素数，要么是 两个素数的乘积。目前一般认为，由于筛法的局限性,这一结果,在筛法范围内很难被超越。 证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的，Goldston 和 Yildirim 所取得的结

3、果也 属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是： )ln(/ )inf(lim1nnnnppp=+这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在 整个素数集合中所取的最小值。很显然孪生素数猜想如果成立，那么 必须等于 0，因为 孪生素数猜想表明 pn+1- pn=2 对无穷多个 n 成立，而 ln(pn)，因此两者之比的最小值 对于孪生素数集合 (从而对于整个素数集合也) 趋于零。不过要注意 =0 只是孪生素数猜 想成立的必要条件，而不是充份条件。换句话说,如果能证明 0 则孪生素数猜想就不成 立，但证明 =0 却并不意味着孪生素数猜想就一定

4、成立。 对于 最简单的估算来自于 素数定理。按照素数定理，对于足够大的 x, 在 x 附近素数出现的几率为 1/ln(x)，这表 明素数之间的平均间隔为 ln(x) (这也正是 的表达式中出现 ln(pn) 的原因)，从而 (pn+1- pn)/ln(pn) 给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为 1。平均值为 1，最小值显然是小于等于 1，因此素数定理给出 1。 对 的进一步 估算始于 Hardy 和 Littlewood。一九二六年，他们运用 圆法” (circle method) 证明了 假如广义 Riemann 猜想成立，则 2/3。这一结果后来被 Rankin

5、 改进为 3/5。 但是这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义 Riemann 猜想，因此只能算是有条件 的结果。一九四零年，Erd s 利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：z epN去除那些满足.3 , 2 , 1 , 0, 1,=+nPpsnpsnp eNiiiii的元素后，eN0中剩余元素个数为 0。 证 假设eN0中还有剩余元素，不妨设为en，则有, 1,+iieiiesnpnsnpn 那么有,1,iieiiesnpnsnpn+这样1,eenn便为孪生素元素， 与引理的假设矛盾。故eN0中剩余元素为零。 # 定义 3（梳子法）把素数ip当成一把梳子，梳子的长度为ip，而is、1+i

6、s是它的两个梳齿，该梳子以ip为周期 0 为起点在数轴上移动，梳齿经过的点被梳除。如图 0 is 1+is ip 那么引理 2 的结论可以表述为： 把 eNP的每一个元素ip当作梳子， 分别以 0 为起点，ip为周期去梳选eN0内的点，剩余元素个数为零。 4 主要引理与结论 引理 3( 剩余元素引理) 对任意eN，有集合 eNP=,.,.321mippppp，引入数 mppppT.321=，用集合 eNP中的元素逐个梳选T,将剩余元素个数记为Tg，则有 =miimTpppppg1321)2()2).(2)(2)(2( （3） http:/ 4 证 若en 为剩余元素，则en丰)(mod1(ii

7、ipss+或，mi 1。从而等式（3）得证。# 推论：若mipppppT.321=，设用mippppp,.,.,321梳选T后剩余元素个数为Tg,剩余元素在T中分布的平均距离为d，则有：mpd (而)141+mjpp，我们知道mp之内的素数个数mm mppplog)(3，jp之内的素数个数jj jppplog)(，显然有 mjjm ppp)()()(,)()(jmpp， 即jpmp之间的素数个数,远远多于jp0间的素数个数,此式同样可表述为若 njjm=，当m时n,即 n随Jm,增大而增大 命题得证。# 下面分析： ,.,.,321miNpppppP e=的元素逐个梳选T0时，剩余元素分布的变

8、化情况。当T0未被梳选时，在T0中 相距为 1 的元素组合), 1),.(3 , 2(),2, 1 (),1 , 0() 1(TTdD=共T对； 相距为 2 的元素组合), 2),.(4 , 2(),3 , 1 (),2, 0() 2(TTdD=共1T对； 相距为 3 的元素组合), 3),.(5 , 2(),4, 1 (),3 , 0() 3(TTdD=共2T对; 相距为 k 的元素组合),),.(2, 2(),1, 1 (), 0()(TkTkkkkdD+=共1+kT对； 当用31=p为梳子， 梳除T0中满足.3 , 2 , 1 , 0, 2, 111=+nnpnp的元素后，T0http:

9、/ 5 中剩余元素个数为： =miimppppT232.3。此时剩余元素中两两相距为 1 和 2 的对数为 0，且任意两个剩余元素间的距离为n3，如： 两两相距为 3 的元素组合), 3),.(9 , 6(),6 , 3).(3 , 0()3(TTdD=共3T对； 两两相距为 6 的元素组合), 6),.(12, 6(),9 , 3(),6 , 0()6(TTdD=共13T对； 两两相距为 3n 的元素组合),3),.(63 , 6(),33 , 3(),3 , 0()3(TnTnnnndD+= 共13+ nT对。 定义 4（纯距离对与杂距离对）我们把两两相距为k的距离对中，无其它剩余元素存在

10、的距离对称为k- 纯距离对，它们组成集合)(kdC=；有其它剩余元素存在的距离对称为k-杂距离对，它们组成集合)(kdZ=。把纯距离对所形成的距离称为纯距离，其个数记为)(kdCg=；把杂距离对所形成的距离称为杂距离，其个数记为)(kdzg=。若将k-距离)(kdD=的个数记为)(kdDg=，则有： )()()(kdZgkdCgkdDg=+= 即：)()(kdCgkdDg= (4) 这里我们先讨论纯距离对的分布变化情况。显然，1p及2p梳选T0后，T0中仅有)6() 3(=dCdC和两种纯距离对存在，其余都为杂距离对。而 015 中剩余元素为： 1596 , 0，。故T中剩余元素为：.3 ,

11、2 , 1, 915, 615,15.30242115960=+nnnn，其数 量为：mpppp.)2)(2(321。再用3p梳选T0，则1050321=ppp中的剩余元素 有：105,99,96,90,84,75,69,54,51,36,30,21,15, 9 , 60，。可知在1050321=ppp中 集合)3(=dC的元素个数3)3(=dcg，集合)6(=dC的元素个数8)6(=dcg 集合)9(=dC的元素个数2)9(=dcg，集合)15(=dC的元素个数2)15(=dcg 那么在T0中， ，mm pppdCgpppdCg .2)9(.3)3(5454 =mm pppdCgpppdCg

12、 .2)15(.8)6(5454 =，由以上分析可知，随着梳子ip的不断增长，T0中剩余元素对中的纯距离长度将不断增长，若将T0中最大纯距离记为mc,纯距离的分布如图 2 所示 http:/ 6 图 2 显然此图的面积为T，即： TmcdCgmcdCgdCgdCg=+=+=+=)(.)9(9)6(6)3(3， 下面分析T0中纯距离)(kdC=以及与其相对应的k距离)(kdD=的关系。 引理 5 任给一)(akdC=，其个数)(akdCg=满足： )(akdCg=)4).(4)().()()(12211=+miiiapppppkdDg )4()(11= +=meiiieiipp， ) 1(1+a

13、ekp （5） 当1+iikp时42i。当1+iikp时4= 证 假设),(kaa+是用ipppp.,321梳子梳选T0后，ipppp.0321中的一个k距离对，那么由于k距离对是以ipppp.321为周期循环出现的，集合 )(1,.2, 1 , 0| ).,.(321321kdDpnkapppnpapppnpSiii=+= 又因为1+ip与ipppp.321互素， 可知用1+ip梳选1321.0+iippppp时，1+ip梳子每梳一次，梳子的起点与离它最近,且小于它的ipppp.321的周期起点ipppnp.321的距离是每次不同的，而1+ip梳子刚好梳ipppp.321次，这样与ipppp

14、.321周期头距离为a的元素 apppnpi+.321中有,且只有一个appppnis+.321被1+ip梳子的第一个齿梳到，另一个 tsitnnappppn+ ,.321被1+ip梳子的第二个齿梳到，同样的与ipppp.321周期头 ipppnp.321距离为ka +的元素kapppnpi+.321中有,且只有一个元素 )(mcdCg=)3(ndCg=)9(=dCg)6(=dCg 3n mc 9 )3(=dCg6 3 http:/ 7 kappppniu+.321被1+ip梳子的第一个齿梳到，另一个vuivnnkappppn+,.321被1+ip梳子的第二个齿梳到，以下我们考虑 4 个被梳走的元素appppnis+.321， appppnit+.321，kappppniu+.321，kappppniv+.321（其中vutsnnnn,）对1321.0+iippppp中k距离对个数的影响， 设1+ip梳子梳选1321.0+iippppp后， 1321.0+iippppp中就1+ip个appppi+.(321，).321kapp