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1、1.已知数列an,651a,若以aaaan,321K为系数的二次方程0121xaxann都有根、，且满足133。 （1）求数列an通项公式； （2）求数列an前n项和Sn解：（1）21 31nna；（2）3121 23nnnS。2.已知数列的等比数列公比是首项为41,411qaan，*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足。（1）求证：nb是等差数列；（2）求数列nc的前 n 项和 Sn；（3）若对1412mmcn一切正整数 n 恒成立，求实数 m 的取值范围。 证明：（1）由已知41,411qa可得nna 41。又nnab41log2 232log34141 nbnn。)2
2、(531nnbn，可得)2(31nbbnn所以，nb是以3,11db的等差数列。.4解：（2）由已知有.41)23(nnnnnbac.41)23(41441121nnns L132412341441 41 nnnsL两式相减得13241) 23 (41414134143 nnnnsL化简得nnns4323 32 .8（3）由1233141 231 4134123411311 nnnnnccnnnn，所以，nc是n的单调递减函数，411ccn，141 412mm，解得1m或5m，所以， m 的取值范围是 5, 1。.143已知数列an中，a1 =1 ，a2=3，且点（n，an）满足函数 y =
3、kx + b（）求 k ，b 的值，并写出数列an的通项公式；（）记，证明数列bn是等比数列，并求数列bn的前 n 和2na nb nS解：（1）将（1 ，a1），（2 ，a2）代入 y = kx + b 中得： 4 分12 321kbk kbb 6 分21nan（2）， 9 分212,2,nan nnbbQ2(1) 1 21 212242n n n nb b 是公比为 4 的等比数列， 11 分 nb又 14 分12b 2(14 )2(41) 143nnnS4.已知数列an中，a1 =1 ，a2=3，且点（n，an）满足函数 y = kx + b（1）求 k ，b 的值，并写出数列an的通项
4、公式；（2）记2na nb ，求数列bn的前 n 和 Sn 解：（1）将（1 ，a1），（2 ，a2）代入 y = kx + b 中得：12 321kbk kbb 3 分21nan 7 分（2）212,2,nan nnbbQ2(1) 1 21 212242n n n nb b ， nb是公比为 4 的等比数列， 10 分又12b 2(14 )2(41) 143nnnS 14 分5.设an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的 n N+，都有2)2(8nnaS。（1）写出数列an的前 3 项；（2）求数列an的通项公式(写出推证过程)；（3）设14nnnaab，nT是数列bn的
5、前 n 项和，求使得20mTn对所有 n N+都成立的最小正整数m的值。 解:(1) n=1 时 2 118(2)aa 12a n=2 时 2 1228()(2)aaa 26a n=3 时 2 12338()(2)aaaa 310a 3 分(2)28(2)nnSa 2 118(2) (1)nnSan 两式相减得: 22 18(2)(2)nnnaaa 即22 11440nnnnaaaa 也即11()(4)0nnnnaaaa 0na 14nnaa 即na是首项为 2,公差为 4 的等差数列2(1) 442nann 8 分(3)1441111()(42)(42)(21)(21)2 (21)(21)n
6、 nnbaannnnnn 12111111(1)()()2335(21)(21)nnTbbbnn L LL L11111(1)2212422nn 12 分20nmT 对所有nN 都成立 1 202m 即10m 故 m 的最小值是 10 14 分6.某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器，运输安装费用 2 千元，每年投保、动力消耗的费用也为 2 千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为 2 千元，第二年为 3 千元，第三年为 4 千元，依此类推，即每年增加 1 千元问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值 解：解：设这台机器最佳使用年限是 n 年,则 n 年的保
7、养、维修、更换易损零件的总费用为：,23) 1( 1 . 04 . 03 . 02 . 02nnn 2072 . 7203n0.2n0.27:22nnn总费用为， ),2 . 720(0.35207n7.2 y:2nn nnn 年的年平均费用为, 2 . 1202 . 722 . 720nnQ等号当且仅当.12n2 . 720时成立即 nn万元）(55. 12 . 135. 0ymin答：这台机器最佳使用年限是 12 年，年平均费用的最小值为 1.55 万元7.已知等差数列na满足：37a ，5726aa，na的前n项和为nS。（1）求na及nS； (2) 令* 24()1n nbnNa，求数
8、列 nb的前n项和nT。答案：2212 ,1nSnnnannn Tn，8.等差数列 na中，11a ，前n项和nS满足条件24,1,2,nnSnSL， （）求数列 na的通项公式和nS；（）记12nnnba，求数列 nb的前n项和nT解：（）设等差数列 na的公差为d,由24nnS S得：1214aa a，所以2133aa，且212daa，所以1(1)12(1)21naandnn 2(121) 2nnnSn（）由12nnnba，得1(21) 2nnbn 所以1211 3 25 2(21) 2nnTn L， 231223 25 2(23) 2(21) 2nn nTnn L， -得2112 22
9、22 2(21) 2nn nTn L 212(1222)(21) 21nnnL2(1 2 )(21) 211 2n nn9.等比数列的前项和为，已知,成等差数列来源: nannS1S3S2S学.（）求的公比； （）已知，求 naq133aanS（）依题意有)(2)(2 111111qaqaaqaaa由于 01a，故022 qq又0q，从而21q 6 分 （）由已知可得3212 11）（aa故41a 从而12 分14 1281113212nnnS 10.以数列na的任意相邻两项为坐标的点),(1nnnaaP（*N Nn）都在一次函数kxy 2的图象上，数列nb满足)0,(1* 1bnaabnnn
10、N N（1）求证：数列nb是等比数列；（2）设数列na，nb的前n项和分别为nnTS ,，且9,546STS，求k的值（1）点)(,(* 1Nnaapnnn都在一次函数 y=2x+k 图像上，则有kaann211nb=2na1na=（21na+k）（2na+k）=2(1nana)=2nb nn bb1=2 故 nb是以1111212akakaaab为首项，2 为公比的等比数列4 分（2）nb=（ka 1）12n=1nana 2 111 1230 1122)(2)(2)(n nnakaaakaaakaaLna=(ka 1)12nkkabnn，又46TS 即4321621bbbbaaaLkaa46
11、5 即kkkaka422)(2)(5 14 1ka871kkan n12)8( 又95S 9521)21 (85 kkk=8 11.已知各项均为正数的数列na中，nSa, 11是数列 na的前n项和，对任意 Nn，有 1222nnnaaS.函数xxxf2)(，数列nb的首项41)(,2311nnbfbb. （）求数列 na的通项公式；（）令)21(log2nnbc求证：nc是等比数列并求nc通项公式； （）令nnncad，为正整数）n(，求数列nd的前n项和nT.解: （）由1222nnnaaS 得12212 11nnnaaS 由，得 )()(22122 11nnnnnaaaaa即：0)()(2111nnnnnnaaaaaa-2 分0) 122)(11nnnnaaaa由于数列 na各项均为正数，1221nnaa 即 211nnaa数列 na是首项为1，公差为21的等差数列，数列 na的通项公式
