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1、数列解题技巧归纳总结基础知识：基础知识：1 1数列、项的概念数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 2 2数列的项的性质数列的项的性质： 有序性 ； 确定性 ； 可重复性 3 3数列的表示数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an， （） ，简记作 an 其中an是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4 4数列的一般性质数列的一般性质：单调性 ；周期性 5 5数列的分类数列的分类：
2、按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列6 6数列的通项公式数列的通项公式：如果数列an的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式a =f（n）n （nN N+或其有限子集1，2，3，n） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的
3、通项公式在形式上未必唯一7 7数列的递推公式数列的递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项） ，且任一项an与它的前一项an-1（或前几项an-1，an-2，）间关系可以用一个公式 an=f（a） （n=2，3，） （或 an=f（a,a）1n1n2n (n=3，4，5，)，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 8 8数列的求和公式数列的求和公式：设Sn表示数列an和前n项和，即Sn=a1+a2+an，如果Sn与项数n之间的函1ni ia数关系可以用一个公式 Sn= f（n） （n=1，2，3，） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 9 9通项公式与求和公式的关系通项公
4、式与求和公式的关系：通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为：11(1)(n2)n nnS naSS等差数列与等比数列： 等差数列等比数列文 字 定 义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 与它的前一项的比是同一个常数，那么这个 数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的 公比。符 号 定 义1nnaad1(0)nnaq qa分 类递增数列：0d 递减数列：0d 递增数列：11010 01aqaq，或，常数数列：0d 递减数列：11010 01aqaq，或，摆动数列：0q
5、常数数列：1q 通 项1(1)()nmaandpnqanm d其中1,pd qad（1 1nn m nmaa qa q0q ）前n 项 和21 1()(1) 22n nn aan ndSnapnqn其中1,22ddpqa11(1)(1)1 (1)nnaqqSqnaq 中 项, ,2a b cbac成等差的充要条件:2, ,a b cbac成等比的必要不充分条件：主 要 性 质等和性：等和性：等差数列 na若则mnpqmnpqaaaa推论：若则2mnp2mnpaaa2n kn knaaa12132nnnaaaaaa即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等积性：等比数列 na若则mnpqmnpqaaa
6、a推论：若则2mnp2()mnpaaa2()n kn knaaa12132nnna aaaaa即：首尾颠倒相乘，则积相等其它1、等差数列中连续项的和，组成的新数列m 是等差数列。即：等差，公差为232,mmmmmsssss则有2m d323()mmmsss2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列 是一个等差数列。如：（下标成等差数列）14710,a a a a3、等差，则， ,nnab 2na21na，也等差。nkabnnpaqb4、等差数列的通项公式是的一次函数， nan即：()nadnc0d1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等232,mmmmmsssss比，公比为。mq
7、2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数 列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）14710,a a a a3、等比，则， ,nnab 2na21nanka也等比。其中0k 4、等比数列的通项公式类似于的指数函数，n即：，其中n nacq1acq性质等差数列的前项和公式是一个没有常 nan数项的的二次函数，n即：()2 nSAnBn0d5、项数为奇数的等差数列有：21n1sn sn奇偶nssaa奇偶中21(21)nnsna项数为偶数的等差数列有：2n，1nnsa sa奇偶ssnd偶奇21()nnnsn aa6、则,nmam an0m na则nmss0()m nsnm则,nmsm sn()m ns
8、mn 等比数列的前项和公式是一个平移加振n幅的的指数函数，即：n(1)n nscqc q5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数 列是等比数列。证 明 方 法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：1()nnaad常数2、中项法：112(2)nnnaaa n证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：1()nnaqa常数2、中项法：11(2,0)nnnnaaana2（）设 元 技 巧三数等差：, ,ad a ad四数等差：3 ,3ad ad ad ad三数等比：2, ,aa aqa aq aqq或四数等比：23,a aq aqaq联 系1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数
9、，是 na naCdCCd的公差。 na2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中 na0na loganalogaq是常数且，是的公比。a0,1aaq na数列的项与前项和的关系：nannS11(1)(2)n nnsnassn数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列） na nbnna b即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求 nbq和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列和（
10、其中等差）11nnaa11nnaa na可裂项为：，111111()nnnnaad aa1 111()nn nnaadaa 等差数列前项和的最值问题：n1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。 na10a 0d nnS（）若已知通项，则最大；nanS10 0nna a （）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；2 nSpnqnn2q pnS2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值 na10a 0d nnS（）若已知通项，则最小；nanS10 0nna a （）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；2 nSpnqnn2q pnS数列通项的求法：数列通项的求法： 公式法公式法：等差数
11、列通项公式；等比数列通项公式。已知（即）求，用作差法用作差法：。nS12( )naaaf nLna11,(1) ,(2)nnnSnaSSn已知求，用作商法：用作商法：。12( )na aaf ng g L gna(1),(1) ( ),(2)(1)nfn f nanf n已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。nSnanSnana若求用累加法用累加法：1( )nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaaL。1a(2)n 已知求，用累乘法用累乘法：。1( )nnaf nana12 1 121nn n nnaaaaaaaaL(2)n 已知递推关系求，用构造法用构造法
12、（构造等差、等比数列） 。na特别地特别地， （1 1）形如）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法1nnakab1n nnakab, k b转化为公比为的等比数列等比数列后，再求；形如形如的递推数列都可以除以得到一个等差kna1n nnakaknk数列后，再求。na（2 2）形如）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。11n n naakab（3 3）形如）形如的递推数列都可以用对数法求通项。1k nnaa（7） （理科）数学归纳法数学归纳法。（8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段结果可能是分段qaadaann nn 11 11或典型题的技巧解法典型题的技巧
13、解法1 1、求通项公式、求通项公式 （1）观察法。 （2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)(1)递推式为递推式为 a an+1n+1=a=an n+d+d 及及 a an+1n+1=qa=qan n（d d，q q 为常数）为常数） 例 1、 已知an满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。 例 1、解 an+1-an=2 为常数 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列 an=1+2（n-1） 即 an=2n-1例 2、已知满足，而，求=？na11 2nnaa12a na（2 2）递推式为递推式
14、为 a an+1n+1=a=an n+f+f（n n）例 3、已知中，求.na11 2a 121 41nnaanna解： 由已知可知) 12)(12(11nnaann)121 121(21 nn令 n=1，2， （n-1） ，代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）2434)1211 (211nn naan说明 只要和 f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由 an+1=an+f（n）以 n=1，2， （n-1）代入，可得 n-1 个等式累加而求 an。 (3)(3)递推式为递推式为 a an+1n+1=pa=pan n+q+q（p p，q q 为常数）为常数）例 4、中，对于 n1（nN）有，求.na11a 132nnaana解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1） 因此数列an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（31+2）-1=4 an+1-an=43n-1 an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1 解法二： 上法得an+1-an是
