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1、数列的概念与简单表示教学目标了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法） 了解数列是自变量为正整数的一类函数 重点、难点：根据题意写出数列的通项公式 一、新知学习A数列的概念 1数列定义 按一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项记作，简记为，其中是数列的第项12,na aaLnanan2数列的两个特性： （1）有序性，一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关 （2）可重复性，数列中的数可重复出现3数列的函数本质 数列实际上是定义在正整数集（或它的有限真子集）上的1,2,3, nL函数，可表示为( )f n( )naf nB数列
2、的几种表示法1列表法 即以如下表格形式给出数列：nan123kna1a2a3aka2图象法 数列的每一项在直角坐标系中有它的对应点，因此，数列可用函数图象上一群 孤立的点来表示3通项公式（解析法） 若某数列的第项与之间的函数关系可以用一个解析式nnan表示，这个式子称为这个数列的通项公式( )naf n4递推公式法 如果已知数列的首项（或前几项） ，且任一项与它的前一项（或nana1na前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式 利用递推公式可以求数列的某一项,也可以用来求它的通项公式 C数列的分类1按项数分 数列按项数可分为有穷数列（项数有限） 、无穷数列（项数无限
3、） 7a6a5a4a3a 2a 1a74512O3nna6( )yf x2按相邻项大小关系分 递增数列（） 、递减数列（） 、常数列（） 、1nnaa1nnaa1nnaa摆动数列 3按若干项变化规律分 周期数列、非周期数列 D单调性数列的定义1设是数列的序号的一个取值集合，则Dnan若在区间上都有，则称数列在上为递增数列；D1nnaanaD若在区间上都有，则称数列在上为递增数列D1nnaanaD2研究数列单调性的方法 （1）利用数列单调性的定义；（2）利用不等式组（或）11, .nnnnaa aa 11, .nnnnaa aa （3）数形结合 E数列的前项和n1数列前项和定义 n123nnSa
4、aaa L2与通项的关系 nSna11,1, ,2.n nnanaSSn注：利用数列的前项和求通项时，特别要注意是否也适合得出的表达式，若不适合，数列的通项公式就要nnSna1a1(2)nnnaSSn用分段函数的形式给出F两个变换关系式1累加变换式 如果有递推关系，则1( ),nnaaf n n N1213211()()()(1)(2)(1)nnnaaaaaaaaafff nLL2累乘变换式 如果有递推关系，则1( ),nnag n naN32 11 121(1)(2)(1)n n naaaaaaggg naaaLLG给出数列的方法1以数列的前几项给出，如 3，5，9，17，33，； 2以图象
5、给出； 3以表格给出；4以通项公式给出，如数列的通项公式为；na230nann5以递推公式给出，如数列中，na1aa1nnaad二、知识迁移 A由数列的前几项写出数列的通项公式例 写出以下各数列的一个通项公式：（1）3，5，9，17，33，；（2）；（3）；（4）3 4 56,5 8 11 14L815 241,579L；2, 5,2 2, 11,L（5）；（6）0.9,0.99,0.999,0.9999 L（1,0,1,0,1,0,L解：（1）（改写为，故1234521,21,21,21,21, L21n na （2）改写为，故3456,3 12 322 332 342 L2 32nnan（
6、3）改写为，故22222 -1 3 -14 -1 5 -1,3579L22(1)12112121nn nnnnann （4）改写成，故3 1 1, 321, 331, 341, L31nan（5）改写成，故2341111111110101010L（1110nna （6）改写成，故或23451( 1)1( 1)1( 1)1( 1),2222 L111( 1) 22n na|sin|2nna注：（1）联想、归纳、类比是探求某些规律的重要手段之一 （2）由数列的前几项求数列的通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由于不完全归纳得出的结果是不可靠的，故要注意代值检验 （3）对于正负符
7、号有规律变化时，可用或来调整 （4）( 1)n1( 1)n仅给出数列的前几项时，这个数列是不确定的，因而它的通项公式也不是唯一的 （5）利用一些熟知的基本数列（如自然数列、奇偶数列等）能顺利地转换问题自主体验 根据数列前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）；（2）； （3）；（4）；4 1 4 2 5 2 11 7L（1925 222L,2,8,（7,77,777,7777,L0,3,8,15,24,L（5）；（6）1 3 7 15 31,2 4 8 16 32L21017 2637, 1,3791113L解：（1）改写成，故 （2）改写成，故4 4 44 5 8 11 14L（4=32
8、nan 1 4 9 16 25 2 2 2 22L,（2 =2nna（3）改写成，故23777(101),(101),(101),999L7=(101)9n na（4）改写成，故2222211,21,31,41,51, L21nan（5）改写成，故123451234521 21 21 21 21,22222L21 2nnna（6）改写成，故1222221121 3141 5161,35791113L2 11( 1)21n nnan B通项公式的应用例 已知数列与满足，且，na nb1120nnnnnb aaba3( 1),2nnbn N12a ，则、的值分别是 24a 4a5a解：又，所以时，
9、由，可得；1,21()2,2nnkbknkN1120nnnnnb aaba1n 12320aaa12a 24a 33a 当时，可得；当时，可得故，2n 23420aaa45a 3n 34520aaa54a 45a 54a 自主体验 数列的通项公式，前项和为，则 nacos12nnannnS2012S解：当时，当时，41()nknN(41)(41)cos1 12nkak 42()nknN(42)(42)cos1(42)1412nkakkk 当时，当时，43()nknN(43)(43)cos1 12nkak 44()nknN(44)(44)cos1(44)1452nkakkk 所以41424344
10、1411456()kkkkaaaakkk N所以2012123452012123456782009201020112012()()()65033018SaaaaaaaaaaaaaaaaaaLLC数列的函数特征数列是一种特殊的函数，故它有函数的性质，从函数的角度研究数列，可深化对数列的理解如求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合11, .nnnnaa aa 11, .nnnnaa aa 例 已知为常数，数列由下表确定：, a b nx试将表格填写完整，并作出这个数列的图象解：由题意，得解得3,55,abab 2,5.ab 所以，从而，25
11、nxn13x 21x 31x 43x 55x 数列的图象略注：列表、图解和解析式（通项公式）是表示数列的常用方法自主体验 已知数列、的通项公式分别为， (为常数)，且na nb2naan1nbbn, a b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是abA0 B1 C2 D3解析：设，则因为，所以无解选 A21anbn()1ab n 0ab0n 21anbnD数列的递推公式及应用例 已知数列中，则na11a 121(1)nnaann N99aA1 B99 C D199解：，据得，所以选 A11a 121nnaa22 1 1 1a 32 1 1 1a 42 1 1 1a 991a自主体验题组 1
12、函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则( )f xnx05x 1()nnxf x等于2010xn12345nxanb35x12345( )f x51342A1 B2 C4 D5 解析：因为，知的值以为周期，则05x 10()(5)2xf xf21()(2)1xf xf32()(1)5xf xf43()(5)2xf xfnx3T 选 D2010670 335xxx2在数列中，则na12a 11ln(1)nnaanna A B C D2lnn2(1)lnnn2lnnn1lnnn解：因为，所以又，11ln(1)nnaan11ln(1)ln(1)lnnnaannn12a 所以选 A1213
13、21()()()2(ln2ln1)(ln3ln2)lnln(1)2lnnnnaaaaaaaannnLL3已知数列满足，则 na11a 123()(2)nnaaanaLna 解：因为，所以，两式相减，得，123()(2)nnaaanaL12113()(3)nnaaanaL1 12(2)n nn nannanaan 所以所以11 1nnan an32 1 1213451(1)112312n n naaann naaaaan LLE数列的单调性例 已知数列中，求数列的最大项 na()15 6nnannNna解：令15 615 615 6( )115 615 615 6nnf nnnn 所以在上单调递减，在上单调递减，如图，( )f n(0,15.6)(15.6,)又，所以最小，最大，且nN15a16a1616401615 6a自主体验
