排列组合常用解题策略

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1、排列组合应用题的常用解题策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握， 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径； 下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略。供同学们学习参考 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排 列，然后再对这几个元素进行全排列。 （即注意“松绑”） 例 1 （1996 年全国文）6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有 （ ） A、720 种 B、360 种 C、240 种 D、120 种 解析：把甲、乙两人视为一人，这样 6 个

2、人看作 5 个人，5 个人的排法有种，甲乙两人还有 顺序问题，所以排法种数为 故选 C 2. 不相邻问题插空排:元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的 不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.（2006 年重庆文）高三（一）班需要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 解析：先将 4 个音乐节目，1 个曲艺节目排列有种，再将 2 个舞蹈节目插入其中的 6 个“空”， 有种插入方法，即得不同的排法共有种，故选 B

3、 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.（2006 年江苏理）今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个 球排成一列有 种不同的方法（用数字作答） 。 解析：同色球不加以区分（即属相同元素排列的消序问题） ，先全排列，在消去各自的顺序 即可，则将这 9 个球排成一列共有种不同的方法。故填 1260 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个（某些）元素按规定排入，第二 步再排另一个（一些）元素，如此继续下去，依次即可完成. 例 4 （2000 全国文理）乒乓球队的 10 名队员有 3 名主力队

4、员，派 5 名参加比赛，3 名主力 队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出 场安排共有 .（用数字作答） 解析：3 名主力队员要安排在第一、三、五位置有种方法，从其余 7 名队员选 2 名安排在第 二、四位置有种，共有种，故填 252 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例 5 （2002 年北京理）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人， 则不同的分配方案有（ ） A、种 B、种 C、种 D、 种 解析：先从 12 名同学中选出 4 名同学分配到第一个路口，再从剩下的 8

5、名同学中选 4 名同 学分配到第二个路口，最后的 4 名同学分配到第三个路口，共有种，故选 A 6.全员分配问题分组法: 分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 例 6(2004 全国 III)将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名，则不同的分配方 案共有（ ）A12 种 B24 种 C36 种 D48 种 解析：把四名教师分成 3 组只有一种分法（即 2、1、1 型）有（因为局部涉及到平均分成两 组问题，所以必须除以）种方法，再把三组教师分配到三所学校有种，故共有种方法. 故选 C 7.名额分配问题隔板法: 对于相同元素的分组这类典型问题，可用“隔板

6、”法求解。 例 7：某学校要从高三的 6 个班中派 9 名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派 1 人， 则这 9 个名额的分配方案共有 种.（用数字作答）解析：将 9 个名额视为 9 个相同的小球排成一排为：，然后在 9 个小球的 8 个空位中插入 5 块木板，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为种. 故应填 56 8.限制条件的分配问题分类法: 例 8(2005 福建文，理)从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览， 要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则 不同的选择方案共有 （ ）A300 种 B240 种

7、 C144 种 D96 种 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： 若甲乙都不选，则有种；若选甲而不选乙，则有种；若选乙而不选甲，则有种；若 甲乙都选，则有所以共有不同的选择方案总数为 种. 故选 B 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别 计数，最后总计. 例：9（2003 年北京春）某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两 个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ）A42 B30 C20 D12 解析 1：对新增的 2 个节目分类： 不相邻：有种，相邻：有种，故不同

8、插法的种数为 + =42 种。故选 A 解析 2：利用“分步原理”：首先在原 5 个节目的 6 个“空隙”中插入一个节目有 6 种，然后再 在这 6 个节目的 7 个“空隙”中插入一个节目有 7 种，因此共有种。故选 A 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 . 例 10 （2006 年湖北文）安排 5 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名 歌手不最后一个出场，不同排法的种数是 .（用数学作答） 解：解析：设全集 =5 名歌手的出场顺序排列 ，A=某名歌手不第一个出场 ，B=另一 名歌手不最后一个出场 ，根据求集合元素个数的公式得排法

9、的种数共有： = 种. 故应填 78 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的 元素。 例 11 （2006 全国 I）安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中 甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答） 解析：甲、乙二人安排在 5 月 3 日至 5 月 7 日值班有种，其余 5 人安排有种方法；所以共有 种。. 故应填 2400 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例 126 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不

10、同的排法种数是（ ） A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共种，选 . 13.“至少”“至多”问题用分类法或间接排除法: 对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直 接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除 掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法 例 13(2005 全国 I)从 6 名男生和 4 名女生中，选出 3 名代表，要求至少包含 1 名女生，则 不同的选法 种. 解析 1：至少包含 1 名女生分为：1 女 2 男有 种；2 女 1 男有种

11、；3 女有种，故不同 的选法共有 + + =100 种, 故应填 100 解析 2：逆向思考，至少包含 1 名女生的反面就是 1 名女生也没有，故不同的取法共有种, 故应填 100 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可 用先取后排法.例 14 （2006 年福建文）从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若 这 3 人中至少有 1 名女生，则选派方案共有（ ）（A）108 种 （B）186 种 （C）216 种 （D）270 种 解析 1：以女生为主分三类：1 女 2 男有 种；2 女 1 男 种；3 女有种， 故共有

12、（ + + ） =186 种选派方案。选. B 解析 2：间接法： 种选派方案。选. B 15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合 条件数，即为所求. 例 15 （2002 年全国文理）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共 有 （ ）A8 种 B12 种 C16 种 D20 种 解析：从正方体的 6 个面中选取 3 个面共有种，剔除 8 个角上 3 个相邻平面，即选. B 16.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约 束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列

13、数有种方法. 例 16 （2007 年全国 II）5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小 组，则不同的报名方法共有（ ） （A）10 种 （B）20 种 （C）25 种 （D）32 种 解析：完成此事共分 5 步，第一步；将第一位同学报名课外活动小组有 2 种 第二步：将第二位同学报名课外活动小组也有 2 种，依次类推，由分步计数原理知共有种不 同报名方法。故选 D 17.数的大小排列问题查字典法：对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的方法，从 高位到低为位依次确定。 例 17(2004 全国 II)在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数

14、中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 （ ）A56 个 B57 个 C58 个 D60 个 解析： 查首位： 型有 种 ； 查前两位： 型和型共有种；另外还有： 共有 种； 查前三位： 型和型共有种；另外还有：共有 种； 查前三位：只有 43512 一种，另外还 有 23154 一种。故共有：种。故选 C 18.复杂排列组合问题构造模型法: 例 18马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有 种.（用数字作答） 解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯种方法,所以