《待定系数法在高考递推数列中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《待定系数法在高考递推数列中的应用（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、待定系数法在高考递推数列题中的应用待定系数法在高考递推数列题中的应用模型模型 1：an1=panq（其中（其中 p、q 均为常数，均为常数， （pq（p1）0） ）解法解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1=p(an)其其中中 =，再再用用换换元元法法令令bn=an，则则有有bn1=pbn，从从而而数数pq 1列列bn为为等等比比数数列列，于于是是由由an=bn 可求出数列可求出数列 an的通项公的通项公式。式。例例 1：已知数列：已知数列an中，中，a1=1，an1=2an1。求。求 an。解：令解：令 an1=2(an)即即 an1=2an =1
2、从而从而 an11=2 (an1)，令，令 bn= an1则则 b1=a11=2 且且=21111 nnnn aa bb故数列故数列bn是以是以 b1=2 为首项，以为首项，以 2 为公比的等数列。为公比的等数列。则则 bn=22n1=2n an=2n1练习练习 1、 （06 重庆文）在数列重庆文）在数列an中，若中，若 a1=1，an1=2an3(n1)，则该数列的通项则该数列的通项 an= 练习练习 2、一牧羊人赶着一群羊通过、一牧羊人赶着一群羊通过 36 个关口，每过一个关口，守关个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，人将拿走当时羊的一半，然后退还
3、一只，过完这些关口后，牧羊人只剩牧羊人只剩 2 只羊，牧羊人原来有只羊，牧羊人原来有 只羊。只羊。模型模型 2：an1= panrqn（其中（其中 p、q、r 均为常数，均为常数，（pqr(p1)(q1)0） ）解法解法一般来说，要先在原递推公式两边同除以一般来说，要先在原递推公式两边同除以 qn1，得，得，再令，再令 bn=qr qaqp qannnn11 nn qa从而化为从而化为 bn1=，此即为模型，此即为模型 1，可用模型，可用模型 1 待定系待定系qrb qpn数法解之。数法解之。例例 2：已知数列：已知数列an中，中，a1=，an1= an()n1，求，求 an。65 31 21
4、解：在解：在 an1= an()n1两边乘以两边乘以 2 n1，得，得31 212 n1an1=(2nan)132令令 bn=2nan，则，则 bn1=bn132又令又令 bn1=(bn)即即 bn1=bn = =332 32 3故故 bn13= =(bn3)32数列数列bn3是以是以 b13=213=为首项，以为首项，以为为公公比比65 34 32的的等等比比数数列列。从而从而 bn3=()n1 即即 bn=32()n34 32 32an=3()n2( )n2nb 21 31练习练习 3、已知数列、已知数列an满足满足 a n1=3a n23n1 且且 a1=3。求。求an的通的通项公式。项
5、公式。练习练习 4、已知数列、已知数列an满足满足 a0=1，an=3 n12an1（nN*） ，求，求 an。模型模型 3：a n1=pananb（p1，0，a0）解法解法用待定系数法构造等比数列，令用待定系数法构造等比数列，令 a n1x(n1)y=p(anxny)与已知递推式比较，解出与已知递推式比较，解出 x、y，从而转化，从而转化为为anxny 是公比为是公比为 p 的等比数列。的等比数列。例例 3：设数列：设数列an满足，满足，a1=4，an=3a n12 n1（n2） ，求，求 an。解：设解：设 bn=anAnB，则，则 an=bnAnB，将，将 an，an1代入递推式，代入递
6、推式，得得 bnAnB=3bn1A(n1)B2n1=3bn1(3A2)n(3B3A1) 11 13323 BA ABBAA bn=ann1(1)则则 bn=3bn1，又，又 b1=6 bn=63n1=23n代入（代入（1）得：）得：an=23nn1练习练习 5、已知数列、已知数列an满足满足 a1=，2an1=ann，求，求 an。21模型模型 4：a n1=p（p0，an0）r na解法解法这种类型一般是等式两边取对数后转化为这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an1=panq，再，再利用待定系数法求解。利用待定系数法求解。例例 4：已知数列：已知数列an中，中，a1=1，an1=an2(a0)，求数列，求数列an的通的通a1项公式。项公式。解：由解：由 an1=an2两边取对数得两边取对数得 lgan1=2lganlga1 a1令令 bn=lgan，则，则 bn1=2bnlga1再利用待定系数法解得：再利用待定系数法解得：an=a()2n1 a1练习练习 6、 （05 年江西理）已知数列年江西理）已知数列an的各项都是正数，且满足的各项都是正数，且满足a0=1，an1=an(4an)，nN，求数列，求数列an的通项公式的通项公式 an。21
