《大学数学实验报告-迭代（一）——方程求解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数学实验报告-迭代（一）——方程求解（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数数 学学 实实 验验报报 告告实验五 迭代（一）方程求解学院：数学与信息科学学院班级：09 级数学（4）班姓名：*学号：*实验五 素数实验名称迭代（一）方程求解实验目的用迭代法求解方程及线性方程组实验环境Mathematica4.0 系统实验的基本理论与方法1、方程求根给定实数域上光滑的实值函数 f(x)以及初值定义数列0x, 1 , 0),(1Lnxfxnn（1）称为 f（x）的一个迭代序列。, 1 , 0,Lnxn给定迭代函数 f(x)以及一个初值利用（1）迭代得到数列0x如果数列收敛于一个，则有, 1 , 0,Lnxnnx*x. )(*xfx （2）即是方程 x=f(x)的解。由此启发
2、我们用如下的方法球方程 g(x)*x=0 的近似解。将方程 g(x)=0 改写为等价的方程 x=f(x), （3）然后选取一初值利用（1）做迭代。迭代数列收敛的极限就是方nx程 g(x)=0 的解。2、线性方程组的迭代求解给定一个 n 元线性方程组nnnnnnnnbxaxabxaxaLLL111111（6）或写成距阵的形式 Ax=b, (7)其中是 n 阶方程， 及均为 n 维列)(ijaA T nxxx),(1LT nbbb),(1L向量。熟知，当距阵 A 的行列式非零时方程（7）有唯一的解。迭代法是求解这些问题的有效方法之一。用迭代的方法求解线性方程组的思想与上节介绍的方程求解的方法是类似
3、的。假设我们可以将方程组（7）改写成 x=Mx+f其中是 n 阶距阵，是 n 维列向量。任意给定)(ijmM T nfff),(1L初始向量，由迭代 0xfMxxnn1（9）确定向量序列如果收敛到向量，则有., 1 , 0,Lnxnnx*x,*fMxx即是方程组（7）的解。*x实验的内容与步骤一、方程求根1、考察用迭代函数 f(x)=2sin(x)求解方程 g(x)=2sin(x)-x=0 的解的情况。（1）在同一直角坐标系中，画出 y=f(x)及 y=x 的图像。从图上观察，方程 x=2sin(x)有几个解？在计算机中打开 Mathematica4.0 系统； 点击鼠标进入工作区后，输入以下
4、语句Plot 2 Sin x ,x , x, Pi,Pi 按 Shift 和 Enter 键运行。-3-2-1123-3-2-1123运行结果：2.NullSecond,Null23、素数的判别(1)对 n=2,3, ,100,观察 2n-1被 n 整除所得的余数；再取其他的整数m（如 3，4，5） ，观察 mn-1被 n 整除的情况：观察当 n 为素数时的结果。m=2 时输入程序：M M n n_ _I In nt te eg ge er r : : M Mo od du ul le e y y, , k k , , m m 2 2; ; k k m m n n 1 1 ; ;x x M M
5、o od d k k, , n n ; ;P Pr ri in nt t n n, , “ “ “, , P Pr ri im me eQ Q n n , , “ “ “, , x x, , “ “ “, , G GC CD D m m, , n n D Do o M M n n , , n n, , 2 2, , 1 10 00 0 运行结果：M M n n_ _I In nt te eg ge er r : : M Mo od du ul le e y y, , k k , , m m 2 2; ; k k m m n n 1 1 ; ;x x M Mo od d k k, , n n ;
6、 ;P Pr ri in nt t n n, , “ “ “, , P Pr ri im me eQ Q n n , , “ “ “, , x x, , “ “ “, , G GC CD D m m, , n n D Do o M M n n , , n n, , 2 2, , 1 10 00 0 2True02 3True11 4False02 5True11 6False22 7True11 8False02 9False41 10False22 11True11 12False82 13True11 14False22 15False41 16False02 17True11 18Fal
7、se142 19True11 20False82 21False41 22False22 23True11 24False82 25False161 26False22 27False131 28False82 29True11 30False22 31True1132False02 33False41 34False22 35False91 36False322 37True11 38False22 39False41 40False82 41True11 42False322 43True11 44False82 45False311 46False22 47True11 48False3
8、22 49False151 50False122 51False41 52False82 53True11 54False142 55False491 56False162 57False41 58False22 59True11 60False82 61True11 62False22 63False41 64False02 65False161 66False322 67True11 68False82 69False41 70False222 71True11 72False322 73True11 74False22 75False34176False82 77False91 78Fa
9、lse322 79True11 80False482 81False401 82False22 83True11 84False322 85False161 86False22 87False41 88False402 89True11 90False322 91False641 92False82 93False41 94False22 95False541 96False322 97True11 98False582 99False581 100False882Null2从运行结果可以发现:当 n 为素数时，2n-1 被 n 整除所得的余数都是1。m=3 时输入程序：M n_Integer
10、 : Module y,k ,m 3;k m n 1 ; x Mod k,n ; Print n,“ “,PrimeQ n ,“,GCD m,n ,“,x Do M n , n,2,100 运行结果：M M n n_ _I In nt te eg ge er r : : M Mo od du ul le e y y, , k k , , m m 3 3; ; k k m m n n 1 1 ; ; x x M Mo od d k k, , n n ; ; P Pr ri in nt t n n, , “ “ “, , P Pr ri im me eQ Q n n , , “ “ “, , G
11、GC CD D m m, , n n , , “ “ “, , x x D Do o M M n n , , n n, , 2 2, , 1 10 00 0 2True113True304False135True116False337True118False139False3010False1311True1112False3313True1114False1315False3916False11117True1118False3919True1120False1721False3922False1323True1124False3325False1626False1327False3028F
12、alse12729True1130False3331True1132False11133False3934False1335False1436False32737True1138False1339False3940False12741True1142False33343True1144False12745False33646False1347True1148False32749False14350False13351False3952False12753True1154False32755False1456False1357False3958False1359True1160False3276
13、1True1162False1363False3964False14365False11666False34567True1168False12769False3970False11371True1172False32773True1174False1375False36976False12777False12578False3979True1180False12781False3082False1383True1184False37585False18186False1387False3988False17589True1190False36391False1192False12793Fal
14、se3994False1395False12496False37597True1198False15999False327100False167Null2m=4 时输入程序：M n_Integer : Module y,k ,m 4;k m n 1 ; x Mod k,n ; Print n,“ “,PrimeQ n ,“,GCD m,n ,“,x Do M n , n,2,100 运行结果：M n_Integer : Module y,k ,m 4;k m n 1 ; x Mod k,n ; Print n,“ “,PrimeQ n ,“,GCD m,n ,“,x Do M n , n,2,100 2True203True114False405True116False247True118False409False1710False2411True1112False4413True1114False2415False1116False4017True1118False21619True1120False4421False11622False2423True1124False41625False162
