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1、1 國交通大學應用學系 莊重教授 4-2 The Mean Value Theorem Rolles Theorem： Assumption： (1) f is continuous on a , b 簡稱 f is smooth on a , b (2) f is differentiable on ( a , b ) (3)()(bfaf (等高) 0)( .),(cftsbac Smooth (平) + 等高： 1.: 0 2.: 0 學 有線斜為的點 即有峰或谷物 有速為的時間Mean Value Theorem (MVT)： f is smooth on a , b . ).)( )
2、()(.),(abcfafbftsbac abafbf)()(割線斜 )( cf線斜 f 在 a , b 是平的: =: = 學上 割線斜 某一線斜物上 平均速 某一瞬間速2 國交通大學應用學系 莊重教授 Proof of MVT： Proof：在 xy 新座標系，將 Rolles Theorem 用在) (xgy 上. ( a , f (a)、( b , f (b)在新的 x 軸上. /)( .) , 0(xcgtsbc 軸 /)( .),(xcftsbac軸 .)()()( abafbfcf Example 1：2 , 0,)(3baxxxf, find c. Solution： .332
3、1302062cc Example 2：Let f be smooth, . 20, 5)( , 3)0(xxff How large can f (2) possible be ? Solution： 7)2(5)( 02)3()2(fcffThe largest value can f (2) be is 7. 3 國交通大學應用學系 莊重教授 Example 3：Let f be smooth, . 40, 2)( , 3)0(xxff How small can f (4) possible be ? Solution： 5)4(2)( 04)3()4(fcffThe smallest
4、 value can f (4) be is 5. Example 4：Does there exist a function f s.t. 4)2(, 1)0(ff, and 2)( xf for all x ? Solution： )( 25 0214cf impossible. Example 5：Prove that xx2111 for x 0. Proof： Let 21 )1 (21)( 1)(xxfxxf .211)()1 (2111)()1 (2111), 0(),0)( )0()(2121xxcxxcxxcxcffxfMVT( Since 1)1 (21 c ) 4 國交通
5、大學應用學系 莊重教授 Example 6：Prove that |coscos|baba for all a and b. Proof： Let xxfcos)(, assume without loss of generality, that ba . . |coscos| )(sin)( coscos bababacbacfbaMVT( Since 1|sin|c ) Example 7：(Theorem) If 0)( xf on ( a , b ) f is constant on ( a , b ). Proof： Let 2121),(,xxbaxx ),(, 0)( )()(212121xxcxxcfxfxf )()(21xfxf f has the same value at any two numbers ),(,21baxx f is constant on ( a , b ). Example 8：Let )( )( xgxf for all ),(bax cxgxf)()( for all ),(bax.(Here c is a constant) Proof： A direct consequence of Example 7.
