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1、北京交通大学硕士学位论文Burgers方程基于特征正交分解方法的数值解法研究姓名：王洪叶申请学位级别：硕士专业：运筹学与控制论指导教师：罗振东20080501j t 塞交通太亟堂僮i 金室一：垦墨至g 工A B S T R A C TA B S T R A C T ：Ap r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ( P O D ) m e t h o di sa p p l i e dt oau s u a lf i n i t ed i f f e r e n c e ( F D ) f o r m u l a t i o
2、na n dau s u a lf i n i t ee l e m e n t ( F E )f o r m u l a t i o nf o rB u r g e r se q u a t i o n sS Ot h a tt h e yC a l lb er e d u c e di n t oaP O DF Df o r m u l a t i o na n daP O DF Ef o r m u l a t i o nw i t hl o w e rd i m e n s i o n sa n de n o u g hh i 曲a c c u r a c y T h ee r r o
3、 r sb e t w e e nt h er e d u c e dP O DF Da n dF Es o l u t i o n sa n dt h eu s u a lF Da n dF Es o l u t i o n sa r ea n a l y z e d I ti ss h o w nb yn u m e r i c a le x a m p l e st h a tt h er e s u l t so fn u m e r i c a lc o m p u t a t i o na r ec o n s i s t e n tw i t ht h e o r e t i c
4、 a lc o n c l u s i o n s M o r e o v e r , i ti sa l s os h o w nt h a tt h i sv a l i d a t e st h ef e a s i b i l i t ya n de f f i c i e n c yo fP O Dm e t h o d K E Y W O R D S ：p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ；f i n i t ed i f f e r e n c ef o r m u l a t i o n ；f i n
5、i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o n ；e r r o ra n a l y s i s ；B u r g e r se q u a t i o n s C L A S S N O ：0 2 4 1 4学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解北京交通大学有保留、使用学位论文的规定特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名工强叶导师签名：髻每，g签字日期：1
6、加】f 年朋倜eE t 剪l ：很歹月珀独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位做作者签名王蒜叶签字日期加髟年f 月二阳4 5致谢光阴似箭，弹指一挥间，两年的研究生生活转瞬即逝。回首两年走过的路，我感慨万千 在这里，我要说的第一句话是献给我的导师罗振东教授，“深深地感谢您罗老师! “ 两年来，能够师从罗老师，我由衷地感到幸
7、运。罗老师渊博的专业知识，横溢的才华，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多为人、为学的道理。从罗老师的身上我真正懂得了“师恩如海，也找N T 今后学习和工作的榜样!再次感谢罗老师，作为系主任平日里工作繁多，但是本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，向罗老师表示崇高的敬意和衷心的感谢!最后还要感谢敬爱的学友，在我遇到困难时给予的热心帮助，另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。序本文主要将特征正交分解( P r o p e rO r t h o g
8、o n a lD e c o m p o s i t i o n ，简记为P O D ) 方法应用于求解B u r g e r s 方程的数值解。本文的主要内容包括两部分，第一部分主要讨论B u r g e r s 方程基于P O D 方法的差分格式及其数值模拟，包括B u r g e r s 方程通常的差分格式和瞬像的生成，奇值分解和P O D 基的生成，B u r g e r s 方程基于P O D方法的差分格式及数值模拟例子等内容；第二部分主要讨论B u r g e r s 方程基于P O D方法的有限元格式及其数值模拟，包括B u r g e r s 方程通常的有限元格式和瞬像的生成，
9、P O D 基的生成和基于P O D 方法的简化有限元格式，基于P O D 方法的简化有限元解的误差估计及数值模拟例子等内容。本研究得到了国家自然科学基金面上项目( 批准号：1 0 4 7 1 1 0 0 ) 、国家自然科学基金重点项目( 批准号：4 0 4 3 7 0 1 7 )和北京交通大学科技基金助项目的资助。1 引言有限差分法和有限元法是求解偏微分方程的两种重要方法，已经被广泛应用于科学与工程计算中。用有限差分法和有限元法处理解偏微分方程近似解是上世纪初由C o u r a n t 等人首先提出的，随着计算机的发展而得到了迅速发展，已经成为了船舶、一般机械、巨型建筑和水利设施等的计算方
10、法。近年来，这两种方法又被用于流体力学和电磁场等非应力分析问题的计算中，并取得了很好的效果。 设QcR 2 是有界的连通多角形区域，考虑下面的b u r g e r s 方程问题( 1 ) 求U 和v 使得塑+等q-等=上(窘+雾)+z如y，t)Q(cocgtR e+ = l + = - l + ，I 溉y 1 S 2 I ，：f 叙两l 叙2钾2J “7 、“一7鱼+警+等=聂1eIf塑叙：+塑ay2)1+厶，k少，t)Ql(ogt一，r )+ + = 一 。+ I + ，。I 五l ，J S 2 I I叙钾R e I 叙2“、77u ( x ，Y ，f ) = 9 G ，Y ，f ) v
11、G ，Y ，f ) = 少G ，y ，f ) ，( j b Y ，f ) c 3 f I x ( 0 ，T ) u ( x ，o ) = v ( x ，o ) = o ，G ，y ) Q其中U 和v 是未知量，T 为最大的时间限，丘和e 分别是已知的x 和y 方向的体力密度，R e 是已知的R e y n o l d s 数，矽( 五J ，f ) 和( 五弘t ) 是已知函数，但是为了便于理论分析，不失一般性，下面先假定矽( 五y ，t ) = 沙( 五乃f ) = 0 。B u r g e r s 方程是流体力学的重要模型方程，该方程的应用研究已经很多，有很多的实际应用背景。虽然B u r
12、g e r s 方程通常的有限差分方法和有限元方法已经在科学计算中得到了很广泛的应用，而且其理论已经很完善。然而，B u r g e r s 方程通常的有限差分格式和有限元格式的自由度太多，对于实际应用会产生很多困难。因此，重要的问题是在保证其数值解具有足够高精度的情况下，如何简化计算和节省计算量及内存容量。特征正交分解( P r o p e rO r t h o g o n a lD e c o m p o s i t i o n ，简记为P O D ) 方法能提供具有足够高精度而自由度又较少的低维模型，简化计算，节省C P u 和内存【3 】。在奇值分析和样本识别中，称该方法为K a r
13、h u n e - L o e v e 展开；在统计学中，称该方法为主分量分析【5 1 ；在地球物理的流体动力学和气象学中，称该方法为经验正交函数方法1 5 羽。P O D 方法主要是提供一种有效地逼近大量数据的工具，其实质是在最小二乘意义下寻找能代表已知数据的一组正交基，即一种求已知数据的最优逼近方法。此外，由于P O D 方法是在最d x - - 乘意义下最优的，所以该方法有完全依赖数据而不对数据做任何先验假设的优点。P O D 方法与G a l e r k i n 投影方法相结合，能将维数很高或无限维的动力系统变成低维模型。虽然该方法已广泛应用于统计计算和6流体动力学中【3 - 1 5
14、1 ，但是这些应用主要是做主分量分析，寻找动力系统的主要特征量。据我们所知，目前还没有用P O D 方法去对B u r g e r s 方程通常的有限差分格式和有限元分格式做简化的报道。因此，本文将P O D 方法应用于B u r g e r s 方程通常的有限差分格式和有限元格式，简化其为一个计算量很少但具有足够高精度的P O D 有限差分格式和有限元格式，并给出简化的P O D 有限差分解和有限元解的误差分析。最后，我们用数值例子说明，在简化的P O D 有限差分解和有限元解与通常的有限差分解和有限元解之间的误差足够小的情况下，P O D 有限差分格式和有限元格式比通常的有限差分格式和有限
15、元格式大大地节省计算量，从而验证P O D 方法的有效性。虽然K u n i s c h 和v o l k w e i n “ J 将P O D 方法与G a l e r k i n 方法结合，处理了类似问题，但是没有对B u r g e r s 方程的有限差分格式和有限元格式做简化处理，而且他们的方法是取所有的时间差分节点的数值解作为样本点( 称为s n a p s h o t s ，即瞬像) 。本文的方法与K u n i s c h 和v o l k w e i n 的方法是不同的，对有限差分格式，用离散的P O D 基的线性组合替换通常差分格式的未知量，将维数较高的有限差分格式简化成维数
16、很低的PO D 有限差分格式；对有限元格式，将有限元空间用P O D基函数张成的子空间取代，将维数较高的有限元格式简化成维数很低的P O D 有限元格式。特别是，从理论上分析得知，本文的格式无需取所有的时间差分节点的数值解作为瞬像，只需取很少的时间差分节点的数值解作为瞬像就能保证有足够高的精度，从而减少了求解P O D 基的计算量，所以本文的方法是对现有方法的改进和创新。本文的主要内容包括两部分，第一部分主要讨论B u r g e r s 方程基于P O D 方法的差分格式及其数值模拟，包括B u r g e r s 方程通常的差分格式和瞬像的生成，奇值分解和P O D 基的生成，B u r g e r s 方程基于P O D 方法的差分格式及数值模拟例子等内容( 见第2 章) ；第二部分主要讨论B u r g e r s 方程基于P O D 方法的有限元格式及其数值模拟，包括B u r g e r s 方程通常的有限元格式
