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2、笔者作为奋战在教学一线的数学老师，考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复 习，已具备一定基础，也对真题中的题型有一定了解，但未必形成知识体系，重难点也未 必完全把握。所以，借助此次与广大考生交流的机会，跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳 理了高等数学中的重难点，以期给正在全力攀登的考生搭一把手。专题一 极限考试对极限的考察以计算为主。下面我们梳理一下极限计算的方法。1. 四则运算此法可简要概括为“若极限式中每一部分(和差式中的每一项或乘除式的每个因子)的 极限存在，则和的极限等于极限的和，差的极限等于极限的差，乘积的极限等于极限的乘 积，商的极限等于极限的商(分母不为零)”。而在实际做题过程
3、中，我们往往不容易观察出每一部分的极限都存在，而是只观察出 一部分的极限存在，这时能否利用四则运算法则往下写呢?我们需分成加和乘(减看成特殊 的加，除看成特殊的乘)两种运算讨论：两个函数相加，取极限，若能观察出一项的极限存 在，若另一项的极限存在，则由四则运算法则，和的极限等于极限的和，可以往下算;若另 一项的极限不存在，可以证明(用反证法)整个极限不存在，也即“收敛+发散=发散”，而 这种情况在真题中的极限计算题中还未出现过。综上，两个函数相加取极限，只要一项极 限存在，就可以放心大胆地、一马平川地往下算。万一另一项的极限不存在呢?那回答整个 极限不存在即可。下面讨论乘的情况，两个函数相乘取
4、极限，若一个函数的极限存在，那 得追问一句：极限值是否为 0?若为 0，则不能把该函数的极限算出(因为可能出现“0 乘无 穷”这种未定式);若极限值不为 0，则后面的讨论类似于加的情况。2. 洛必达法则洛必达法则知名度很高。提起极限计算的方法，有同学别的方法想不起来，唯独对洛 必达念念不忘，可谓情有独钟。到了这个阶段，对于此法，首先要注意条件。洛必达法则 有三个条件：1)0 分之 0 或无穷分之无穷型;2)分子、分母在一个范围(若极限过程为 x 趋近 于一点，则“局部”为该点的某去心邻域)可导;3)分子、分母分别求导后的极限存在。具体 函数仅判断第 1)条一般不会出问题，因为第 2)、3)条在
5、多数情况下成立。但对抽象函数的 极限问题要小心，可不可导，连不连续对洛必达法则的运用都有影响。此外，泰勒公式以 强大著称，但有一种情况不得不请出不那么强大的洛必达法则帮忙，谁这么大牌?原来是含 有变限积分的极限。一般得借助洛必达法则削去积分号。3. 等价无穷小替换这种方法大家都比较熟悉。首先要记住常见的等价无穷小替换公式。接下来就是广义 化的思想方法(如 x 趋于 0 时，sinx 等价于 x，那么 x 的位置换成趋近于 0 的函数行不行?行!这 就是广义化的思想)。再者，等价无穷小替换常在洛必达法则之前用，这样可以简化洛必达 法则中的求导运算。注意，易错点是只有整个极限式的乘除因子才能替换。
6、4. 泰勒公式泰勒公式可以说是计算极限的最强大的武器。有同学戏称“一把泰勒走天下，洛必达凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http:/ 考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！凯程考研，考研机构，凯程考研，考研机构，10 年高质量辅导，值得信赖！年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提以学员的前途为已任，为学员提 供高效、专业的服务，团队合作供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。为学员服务，为学员引路。之类都是浮云”。确有几分道理。该公式有两种形式：带皮亚诺余项的
7、公式和带拉格朗日 余项的公式。前者用来算极限，后者用来证明。算极限首先应记清 8 个常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,ln(1+x),(1+x)a 在 0 点展开的泰勒公式)，接下来就是带入、化简计算的功夫了。泰勒 公式展示其威力的场合还有抽象函数。有一个信号会提示我们考虑泰勒公式，即题目中出 现高阶导数(二阶及以上阶数的导数称为高阶导数)。5. 幂指型函数的处理幂指型函数是指底数位置和指数位置都有自变量的函数。此类函数在考试中可能让我 们求极限或求导数。处理该类函数问题有万能的一招：指数对数恒等式转化。6. 夹逼定理首先要熟悉该定理的
8、内容。有数列和函数两种形式。若一个数列夹在两外两个数列之 间(并不要求对所有的 n 成立，对充分大的 n 成立即可)，且在 n 趋于无穷时，两头的数列 收敛到同一个数，则中间的数列被逼迫着极限也存在且极限值为同一个数。函数形式的夹 逼定理类似理解。接着应熟悉一个结论：无穷小乘以有界量=无穷小。该结论是夹逼定理的推论。可用 其解题。最后，一种长得非常有型的极限计算题n 项分母互不相同的分式的和的极限，可 考虑夹逼定理，也可能考虑定积分定义。限于篇幅，本文在此点到为止，不详述。7. 单调有界定理该定理内容并不难：单调递增且有上界的数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有 极限。此处需注意，不是严格
9、的单调也可以。该定理数一数二同学尤其要注意，因为真题在此处考过多次大题。该定理的一种比较 典型的应用场合是递推式数列的极限问题。一般情况下，证明数列的极限存在就可考虑该 定理。凯程教育：凯程教育：凯程考研成立于 2005 年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李 海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方 浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考 指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好
10、最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为 学员引路。如何选择考研辅导班：如何选择考研辅导班：凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http:/ 考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！凯程考研，考研机构，凯程考研，考研机构，10 年高质量辅导，值得信赖！年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提以学员的前途为已任，为学
11、员提 供高效、专业的服务，团队合作供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。为学员服务，为学员引路。在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导 班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几 个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。师资力量：师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导 经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资 力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教 师配合的结果。还要深入了解教
12、师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名 师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。 而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。对该专业有辅导历史：对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导 班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下 2015 五道口金融学院状元，考取五道口 15 人，清华经管金融硕士 10 人，人大金融硕士 15 个，中财和贸大金融硕士合计 20 人， 北师大教育学 7 人，会计硕士保录班考取 30 人，翻译硕士接近 20 人，中传状元王园璐、 郑家威都是来自凯程，法学
13、方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学 等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣 榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集 训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是 分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很 多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格 的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细 沟通一下就清楚了。建校历史：建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如， 凯程教育已经成立 10 年（2005 年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学 们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。有没有实体学校校区：有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不 太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区， 有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。 此外，最好还要看一下他们的营业执照。
