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1、2014/10/22第四节第四节 连续型随机变量及其连续型随机变量及其 概率密度概率密度则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的概率密度函数的概率密度函数, 简称为概率密度简称为概率密度 .一一、连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数 xF xf t dt 对于随机变量对于随机变量 X 的分布函数的分布函数 F (x) , 如果存在非如果存在非 负可积函数负可积函数 f (x) , 使得使得对任意对任意实数实数x , 有有 P Xx连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在上连续上连续R(Continuous Random
2、Variable) (Probability Density Function)二二、概率密度函数的性质概率密度函数的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxff (x)xo面积面积 为为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个 函数函数 f (x)是否为某是否为某 r.v. X 的的 概率密度的充要条件概率密度的充要条件对于任意实数对于任意实数 a , b ( a0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为和和的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布. 2 X N(, 2).24 fx 的的性性质质1.()()fxfx 4曲线曲线关于关于对称对称；x( )f x 3 1;fx d
3、x 2 0;fx 122()21( ),2x f xex 2( ),xfxf xx 函数函数在在上上 fx(, ,) 在在取得最大值取得最大值. .x 1( )2f x 在在上上单调增加单调增加, ,单调减少单调减少, ,2014/10/2225x = 为为 f (x) 的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标； 5当当 x+时时，f (x) 0, ,f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线. . 6当当 x 时时，f (x) 0. .在在上上 fx(,)凹凹，在在上上 fx , 凸凸. . 22()222 3(),2x xfxex 请问请问：综上综上，正态分布的图形是什么样子的正态分布的图形是
4、什么样子的？26关于关于对称对称, , 中间高中间高, , 两边低两边低, , 样子像座样子像座“钟钟”. .关于关于关于关于对称对称对称对称, , , , 中间高中间高中间高中间高, , , , 两边低两边低两边低两边低, , , , 样子像座样子像座样子像座样子像座“钟钟钟钟”. . . .x请问请问：参数变化时参数变化时，图像会如何变化图像会如何变化？xO( )fx27决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置, , 决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度. .正态分布正态分布的图形特点的图形特点),(2N22()21( ),2x f xex 28若固定若固定的值而的值而变化时变
5、化时, 则密度曲线的形状不变则密度曲线的形状不变, 它沿着它沿着 x 轴方向平行移动轴方向平行移动若固定若固定的值而的值而变化时变化时， 则密度曲线的位置不变则密度曲线的位置不变，而其形状将改变而其形状将改变， 当当大时曲线平缓大时曲线平缓，当当小时曲线陡峭小时曲线陡峭29大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的. .例如例如，成年人的身高成年人的身高、体重体重、血压血压、视力视力、智商等智商等； 各种测量的误差各种测量的误差；工厂产品的尺寸工厂产品的尺寸； 农作物的收获量农作物的收获量；海洋波浪的高度海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度金属线的抗拉强
6、度；热噪声电流强度热噪声电流强度； 一个班的某门课程的考试成绩一个班的某门课程的考试成绩； 一个地区的日耗电量一个地区的日耗电量； 一个地区的家庭年收入一个地区的家庭年收入2. 正态分布的实际背景正态分布的实际背景30Ox -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -11 2 3 4 5 6 7 8这是什么曲线这是什么曲线? ?这是什么曲线这是什么曲线这是什么曲线这是什么曲线? ? ? ?2014/10/22313. 正态分布的分布函数正态分布的分布函数 22() 21,.2t xF xdetx 2( ,) XNX 设设，则则的的分分布布函函数数是是321, 0的正态分布称为标准正态分布的正态
7、分布称为标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用和和表示表示：)(x( ) x4. 标准正态分布标准正态分布( (Standard Normal Distribution) ) 22,1 2tx xdtxe 221 2,x xxe )(x )(x 102 33定理定理1 2,0,1 .XNZXN 若若则则根据引理根据引理, ,只要将标准正态分布的分布函数制成表只要将标准正态分布的分布函数制成表，就就 可以解决一般正态分布的概率计算问题可以解决一般正态分布的概率计算问题. . 2,XN 于是于是 XFxxP Xx xP Z 5. 一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化
8、34书末附有标准正态分布函数数值表书末附有标准正态分布函数数值表，有了它有了它， 可以解决一般正态分布的概率计算查表可以解决一般正态分布的概率计算查表. .标准正态分布表标准正态分布表()1( )x x221( )2tx xedt 当当x 0 时时, (x)的值的值.xxxO( )x( )x()x35),(2NX若若若若 XN(0,1),()XPab )(bXaP()( )( ).P aXb b a()().ba XYN(0,1).则则()()()XbbP XbP ()1()1()aP XaP Xa 36设设2( ,),XN 求下列概率值求下列概率值： 22 33 PX PX PX 由引理知由
9、引理知XN ()/(0,1). PX 11XP (1)( 1)2(1)10.6826, 22PX2(2)10.9544, 33PX2(3)10.9974. 0.6826 0.9544 0.9974 例例4解解6. 3 准准则则2014/10/2237 22 33 PX PX PX 0.6826 0.9544 0.9974 %26.6822%44.9533%74.99正态正态 r.v.的值几乎都落在的值几乎都落在内内.(3 ,3 ) 2( ,),XN 3 准准则则例例5 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6), P (X -1), P (X 3). 解解210 216 .1)6 .10(XP5 .03 .05.01 3 .06915.01 6179. 03094.0附表2111)1(1)1(XPXP 11 1118413.0213 213)33()3(XPXP 21 211 9772.018413.08185.0作业作业习题2-4 3, 4, 5, 7, 8, 13
