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1、复习参考 数学通讯 2 O 1 3年第 1 1 、 1 2期( 上半月) 9 9 不等式恒成立和能成立与函数最值问题归类分析 杨华文 ( 山东省枣庄市第三中学 ， 2 7 7 1 O O ) 众所周知 ， 等价转化 的数学思想和最值 问题 是历年高考考查的重点 但如何实施等价转化 ， 尤 其是结合着全称命题与特称命题 的等价转化去求 参数取值范围的题 目难度更大 且 自 2 0 1 0年山东 高考理科第 2 2 题 出现之后 ， 真可谓是一石激起千 层浪， 在全省范围内掀起了轩然大波 ， 此类题 目在 各地的调研模拟考题中就层出不穷、 屡见不鲜 了 为了帮助学生能有一个较为完整且能够宏观把握
2、的知识体系， 笔者仅以 2 0 1 2 2 0 1 3 年山东各地出 现的考题为例， 做了一个较为系统的梳理和总结 ， 以期达到让学生能抓住重点的同时又突破难点的 目的 一、问题 的基 本类 型 结合实例概括其基本特征 ， 可总结如下 第一层次： 1 。 对 V z D， g ( s c ) 厂 ( z ) 都成 立 学 厂 ( ) 一g ( z ) ； 0 或 甘 g ( ) 一厂 ( ) 0； 2 。 若 D， 使g ( z ) f ( s c ) 成立 ， ( z ) 一g ( x ) - l 0或 甘 g ( ) 一厂 ( z ) i 0 其显著特征是 ： 不等式左 右两边是 同一个
3、自 变量 ， 且两边 自变量的取值范围也相同 第 二 层 次 ： 3 。 对V z l Dl ， V z 2 D2 ， g ( z z ) f ( x 。 ) 都成立 g ( z ) E l ( x ) 3 4 。 对 V 1 D1 ， j z 2 D2 ， 使 g ( x 2 ) f ( x 。 )成立 甘 g ( z ) i r - f ( x ) 3 5 。 了z l DI ， 对 V z 2 D2 ， 使 g ( x 2 ) f ( x 。 )成立 g ( ) 。 厂 ( z ) ； 6 。 若 了z 1 D1 ， j 2 D2 ， 使 g ( x z ) f ( x )成立 铮 g
4、( z ) ， ( z ) 一 其显著特征是 ： 不等式左右两边不是 同一个 自变量 z， 且各 自取值范围即定义域也不同 二 、 常见 的试 题举 例 1 。 对 VzD， g ( z ) 厂 ( z ) 都成立 甘 ， ( z ) 一g ( ) 0或 骨 g ( ) 一厂 ( z ) 0型 例 1 ( 济南市 2 0 1 2届高考模 拟试卷理科 第 2 2 题)已知函数 f ( s c )一x l n x， g ( z )一z 。 +舡 。 一 z十 Z ( 1 ) 求函数 ，( z )的单调性； ( 2 ) 求 函数 ， ( z ) 在 f ， +2 ( O ) 上的最小 值 ； ( 3
5、 ) 若对 V ( O ， +o 。 )时， 恒有 2 f ( x ) g ( z ) +2成立 ， 求实数 口的取值范围 解 ( 1 ) ( ) 一l +1 ( z o ) ， 令J f， ( ) = 0得 z： ， N n - V： e Z ( o ) 1 ( ，+ o 。 ) _ e e e ( z ) O + ， ( ) 极小值一上 由 表 可知， ， ( ) 在( o ， ) 上 是减函 数， 在 ( ， + 。 。 )上是增 函数 ( 2 )分情况讨论 ， 注意 为什 么要分类? 对谁分 类 ? 分几类? 当 o l n x一 3 z一 1 甘a ( 1 n x一 3 z一 ) 1
6、一 P g ( z ) 有解 铮 厂 ( ) 一g ( x ) - l 0 即( z 。 +1 ) a + ( z +2 x 。 一4 s c 一1 ) 0 ， 令 ( n )= ( 。 +1 ) 口 +( +2 s c 。 一4 x 一1 ) ( 变更 主 元 ) 因为 7 2 。 +l 0 ， 所以 ( n ) 在( 0 ， 1 上是增函 数 ， 于是 ( 口 ) = ( 1 )= X +2 x 。 一3 z 。 ( 反客 为 主) 由 + 2 x 一 3 x 。 0即 X ( z + 2 x一 3 ) 0 ， ( z+ 3 ) ( 一 1 ) 0 ， 得 1 故实数 X的取值范 围是 (
7、 一 。 。 ， 一 3 )U ( 1 ， + ) 点评 构造 函数是利用 函数思想解题的前 提， 何时构造， 构造什么样的函数 ， 需要在不断解 题分析的过程中反思、 总结、 提炼和感悟 3 。 对 V X 1 D1 ， V 2 D2 ， g ( x 2 ) f ( x 1 ) 都成立 错 g ( z ) 厂 ( z ) i 型 例 3 ( 潍坊市 2 0 1 2届高考模拟试卷理科第 2 1 题) 设函数 f ( s c ) = a +3 C ， g ( s c ) 一 x l n a ， 其 中 a1 ( 1 ) 求证 F( z ) 一厂 ( z ) 一g ( z ) 在( O ， +)
8、单 调递 增 ； 1 ( 2 ) 若函数Y ：I F ( s c ) -b + I 一3 有四个零 c ， 点 ， 求实数 b的取值范围； ( 3 ) 若 对VX l ， z 2 一 1 ， 1 ， 都 有 l F ( x z ) 一F ( x 1 ) l 一2 恒成立， 求实数a 的取值范 围 解 ( 1 ) F( z )= = = 厂 ( z ) 一 g ( z )一 a + z 一 s c l n a， F ( z)一 a I n a+ 2 x l n a 一( n 一 1 ) I n a + 2 x 因为 X 0 ， a 1 ， 所 以 F ( z ) 0 ， 即 F ( z ) 一
9、， ( z ) 一g ( z ) 在( 0 ， +。 。 )上单调递增 ( “ 三步走”遇障碍， 证明铺坦途) ( 2 )由( 1 ) 知当z 1 丢 一 3 6一 1 4 筒 o， 所以 b 2 + 5或 2 一 5 1 ) ， “ 则， ( n ) 一 1 + 一 ： 二 0h 0 所以 ( n ) 则 ( n ) 一 1 + 一三 = 二 所以 ( n ) 口 a 口 在 a ( 1 ， +) 上单调递增 ， 于是 ( 口 ) ( 1 ) 一 0 ， 即 F( 1 ) F ( 一1 ) ， 所以E F( x ) 一 F( 1 )= = = a +1 一l n a， 于是 问题 筒F( 1
10、 ) 一F( O )一 口 l n a e 。 一2即可 令 ( 口 )一 口 一l n n ( 口 1 ) ， 则 ( d )= 1 一 一 0 ， 所 以 ( 口 ) 在 口 ( 1 ， +c 。 ) 上单调 a 。 递 增 ， 又 ( P )= e 。 一 l n e 。= e 一2 于 是 ( 口 ) ( P 。 ) ， 故 1 0 ， 所 以 厂 ( z ) 一 1 一 一 詈= 等 一( z+ 口 ) ( z一 2 a ) 一 一 当a一0 时， 厂 ( z ) 一 ， 厂( z ) 在( O ， +。 。 ) 上 单调 递增 当 a 0时 ， 列表如下： ( O， 2 a ) 2
11、 a ( 2 a， + ) ( z ) O + ， ( z ) 极小值 ( o ， 2 a ) 时， 厂( z ) 0 ， 函数厂 ( z ) 单调 递增 当 a 0 ， 函数 厂( z ) 单调递增 综上所述 ： 当a一0 时 ， 厂 ( z ) 在( O ， +) 上单 调递增 ； 当 a 0 时， 函数， ( z ) 在( O ， 2 a ) 上单调递 减， 在 ( 2 a ， +)上单调递增 ； 当 n O ) Z 由( 1 ) 知 ， 当z ( O ， 2 ) 时 ， ( z ) 单调递减 ， 当 ( 2 ， +。 。 ) 时 f ( s c ) 单调递增 ， 所以r - f ( x
12、 ) - i i = 厂 ( 2 )= 3 l n 2 由于 “ 对 V z 。 1 ， e ， V z ： r- 1 ， e ，使 f ( x ) g ( x 。 ) ”等价于“ 厂 ( z ) 在 1 ， e 上的最小 值大于等于 g ( ) 在 1 ， e 上的最大值” 又 g ( ) = ( z 一6 ) 。 +4 一l n 2 一b 。 ， z 1 ， P ， 所 以 ， 当 b 时， 因为 g ( z ) 一 一 g ( e )一 e。 一2 b e +4 一 I n 2 ， 由 3 一 l n 2 e 一2 b e +4 一 l n 2 1 O 2 数学通讯 2 O 1 3年第
13、l 1 、 l 2期( 上半 月) 复 习参考 得 ， 6 1 ( e + ) ， 故 丢 ( + ) 6 e + 1 当 6 时， 因为 g ( z ) 一 g ( 1 )一 1 2 b +4 一I n 2 5 2 b l n 2 ， 由 3 一l n 2 5 2 b -1 n 2得 6 1 ， 故 6 综上 ， b的取值范围是 ( + ) ， +o o ) e ( 4 )当 口一 虿 1时( 为什么取此特殊值) ，( z) = z + 去 一 l ln x ( z 0 ) 由 ( 1 ) 知 ， 函数 ， ( z ) 在 X ( 1 ， +o o ) 上 单调 递增 ， 所以， 当z 1
14、时， 有 厂 ( z ) ， ( 1 ) ， 即 + X 一专 ln z 3 ， 也 就 是 ln z 0 ， 厂( z ) 0 ， 函数 厂 ( z ) 单调递增 当 a 0时分情况讨论 ， 注意为什么要分类? 对谁分类? 分几类? 当口= 1时， z = 。 ， 1 2 ( z ) O 恒成立 ， 此 时 f ( z ) 0 ， 函数 厂 ( z ) 在( 0 ， +o o ) 上单调递减 1 1 当0 1 o ， 列表如下： 口 Z ( O ， 1 ) 1 ( 1， 一 1 ) 一 1 ( 一 1 ， + c o) 口 n 口 ( ) O 0 ， ( z ) 极小值 极大值 当 X ( 0 ， 1 )时， ( z ) 0 ， f ( z ) 0 ， “ 函数 ， ( z )单调递增 ； 当 z ( 土 一 1 ， +o o ) 时 ， ( z ) 0 ， f ( z ) 0 ， ( z ) 0 ， 函 数 厂 ( z ) 单调递增 综上所述 ： 当 n 0时 ， 函数 厂 ( 工 )
