《数学建模课件讲义-第七章-差分方程模型-大学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模课件讲义-第七章-差分方程模型-大学课件（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、市场经济中的蛛网模型 减肥计划 节食与运动 差分形式的阻滞增长模型 按年龄分组的种群增长 第七章 差分方程模型 市场经济中的蛛网模型 问 题 供大于求 现 象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 价格下降 减少产量 增加产量 价格上涨 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡 蛛 网 模 型 g x0 0 f x y 0 消费者的需求关系 )( kk 生产者的供应关系 减函数 增函数 供应函数 需求函数 f与 0(x0, 平衡点 一旦 xk= yk= ,=x 0, , =y 0 )(1 kk )( 1 kk y 0 f g y0
2、0 设 x0 x1 2 1 3 P4 x3 32211 00 , 2 4 K x y 0 y0 0 f g )( kk )(1 kk )( 1 kk K 曲线斜率 蛛 网 模 型 0321 )( kk )(1 kk 在 )0()( 00 ()( 001 001 )()( 0101 10 )/1( )/1( 1方 程 模 型 K K 方程模型与蛛网模型的一致 )( 00 商品数量减少 1单位 , 价格上涨幅度 )( 001 价格上涨 1单位 , (下时段 )供应的增量 考察 , 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度 小 , 有利于经济稳定 小 , 有利于经济稳定 结果解释 1
3、经济稳定 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使 尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变 2. 使 尽量小，如 =0 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 结果解释 需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直 2/)( 0101 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。 )( 00 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 ,2,1,)1(22 012 二阶线性常系数差分方程 研究平衡点稳定，即 k, xk)(1 kk 2 11 22,1 012 )1(22 方程通解 211 ( 1, 2特征根，即方程 的根 02 2 平
4、衡点稳定，即 k, xk 12,1 2平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了 122,1 模型的推广 减肥计划 节食与运动 背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数 w(l2( 超重 ; 0 肥胖 . 模型假设 1）体重增加正比于吸收的热量 每 8000千卡增加体重 1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗 200千卡 320千卡 (因人而异 ), 相当于 70千克的人每天消耗 2
5、000千卡 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 周吸收热量不要小于 10000千卡。 某甲体重 100千克，目前每周吸收 20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至 75千克。 第一阶段：每周减肥 1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（ 10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 减肥计划 3）给出达到目标后维持体重的方案。 )()1()()1( 千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数
6、即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡 基本模型 w(k) 第 末 )体重 c(k) 第 代谢消耗系数 (因人而异 ) 1）不运动情况的两阶段减肥计划 每周吸收 20000千卡 w=100千克不变 0 2 08 0 0 02 0 0 0 0 第一阶段 : w(k)每周减 1千克 , c(k)减至下限 10000千卡 1)1()( 01 2 0 0 0 )()1()()1( 第一阶段 10周 , 每周减 1千克，第 10周末体重 90千克 10 )0()()1(1)0()1( 800019,1,0,2 0 01 2 0 0 0)1( 1）不运动情况的两阶段减肥计划 1)(1)1(
7、1 0 0 0 0 1()1(1)()1()( 1 第二阶段：每周 c(k)保持 w(k)减至 75千克 代入得以 1 0 0 0 0,8 0 0 01,0 2 5050)( n )()1(1）不运动情况的两阶段减肥计划 )()1()()1( 基本模型 )()1()1(，要求已知 75)(,90)( 50)5090(9 7 n 第二阶段：每周 c(k)保持 w(k)减至 75千克 5050)( 9周 , 每周吸收热量保持 10000千卡 , 体重按 减少至 75千克。 )19,2,1(509 7 0/25 n)0 2 0 2 t 24,0 0 即取运动 t=24 (每周 跳舞 8小时或自行车
8、10小时 ), 14周即可。 2）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡 ): 跑步 跳舞 乒乓 自行车 (中速 ) 游泳 (50米 /分 ) 7.9 t每周运动时间 (小时 ) )()( )1()()1( 基本模型 n 14n)()1()(3）达到目标体重 75千克后维持不变的方案 )()()1()()1( 每周吸收热量 c(k)保持某常数 C，使体重 ( ( )(1 5 0 0 0750 2 0 0 千卡C 不运动 )(1 6 8 0 0750 2 0 0 千卡C 运动 (内容同前 ) )1()( ,2,1),1(1 差分形式的阻滞增长模型 连续形式 的阻滞
9、增长模型 ( t, xN, x=定平衡点 (与 离散形式 x(t) 某种群 t 时刻的数量 (人口 ) 某种群第 人口 ) 若 , 则 ,= N 讨论平衡点的稳定性，即 k, ？ y*=N 是平衡点 kk ( 1 ()1(1 离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 (1)1(1)2()1(1 一阶 (非线性 )差分方程 (1)的平衡点 y*=N 讨论 x* 的稳定性 变量代换 (2)的平衡点 11* (1)的平衡点 x* 代数方程 x=f(x)的根 稳定性判断 )2()()( *1 (1)的近似线性方程 x*也是 (2)的平衡点 1)( * (2)和 (1)的稳定平衡点 1)( * (2)和 (1)的不稳定平衡点 补充知识 一阶非线性差分方程 )1()(1 kk 的平衡点及稳定性 )21()( * 1)( * (4/b*x 2/1 1 )1()( )1(1 的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性 31 * bx*xx k （单调增）0xx
