《可降阶的高阶微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《可降阶的高阶微分方程（86页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、10.3 可降阶的高阶微分方程( )( )nyf x=一、一、型的微分方程型的微分方程( ,)yf x y=二、二、型的微分方程型的微分方程( ,)yf y y=三、三、型的微分方程型的微分方程( )( )nyf x=一、一、型的微分方程解法型的微分方程解法1 1()( )nyf x dxC=+连续积分连续积分 n 次次2 12()( )nyf x dxC dxC=+ LL第一种类型( )( )nyf x=例题11. 求微分方程求微分方程2cosxyex =的通解。的通解。2. 求微分方程求微分方程sinyxx=的通解。的通解。3126sinxyxC xC=+2 21 2382sinxceyx
2、xc xc=+( )( )nyf x=二、二、型的微分方程型的微分方程求解求解12( ,)yx C dxC=+( ,)yf x y=y二阶二阶,缺缺第二种类型( ,)yf x y= , PyPy=则则设设),(PxfP =),(1CxP= 积分积分Pdxdy=例题2例 求微分方程例 求微分方程yyx=的通解的通解2 121 2xyc exxc=+( ,)yf x y=例例 求微分方程求微分方程212()xyxy+=满足条件满足条件的特解的特解.0013,xxyy=331yxx=+例题3( ,)yf x y=( ,)yf y y=三、三、型的微分方程型的微分方程x二阶二阶,缺缺( ),dpdp
3、dydpyp yypdxdy dxdy=( , )dppf y pdy=2 1( ,)dyxCy C=+第三种类型11( ,)( ,)ypy Cdydxy C=( ,)yf y y=例题4 例 求微分方程例 求微分方程2()y yy=的通解的通解1 2c xyc e=( ,)yf y y=例 求微分方程例 求微分方程2201()yyy+=的通解。的通解。1211yC xC= +0()y 例题5( ,)yf y y=10.4 二阶线性微分方程解的结构n齐次线性微分方程解的结构n非齐次线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的形式：二阶线性微分方程的形式：( )( )( )yP x yQ x yf x
4、+=时时，当当0)(xf二阶线性二阶线性齐次齐次微分方程微分方程时时，当当0)(xf二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程0( )( )yP x yQ x y+=( )( )( )yP x yQ x yf x+=二阶线性微分方程的定义定理定理 如果函数如果函数)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)的两个解的两个解那末那末2211yCyCy+=也是也是(1)的解的解.（21, CC是常数）是常数）问题问题:一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy+=)1(0)()(=+ yxQyxPy二阶齐次线性微分方程函数的线性相关、线性无关. ,)( )( ,0)()( , )( ),( 2
5、122112121否则称为线性无关否则称为线性无关线性相关线性相关上上在区间在区间与与则称函数则称函数恒成立恒成立等式等式使得对任何使得对任何和和全为零的常数全为零的常数若存在不若存在不上连续，上连续，在区间在区间设函数设函数IxyxyxycxycIxccIxyxy=+若在若在 I 上有上有常数，常数，)()(21 xyxy则函数则函数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线性无关线性无关. 定理：如果定理：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)的两个线性的两个线性无关的特解无关的特解, 那么那么2211yCyCy+=就是方程就是方程(1)的通解的通解. 例如例如, 0=+ yy,si
6、n,cos21xyxy=,tan12常数常数且且=xyy.sincos 21xCxCy+=通解为：通解为：二阶线性齐次方程解的结构)1(0)()(=+ yxQyxPy定理定理 设设*y 是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 )2()()()(xfyxQyxPy=+ 的一个特解的一个特解, Y是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的的 通解通解, 那么那么*yYy+=是二阶非齐次线性微分方是二阶非齐次线性微分方 程程(2)的通解的通解. )1(0)()(=+ yxQyxPy二阶线性非齐次方程解的结构定理定理 设非齐次方程设非齐次方程(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 数之和
7、数之和, 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy+=+ 而而* 1y与与* 2y分别是方程分别是方程, )()()(1xfyxQyxPy=+ )()()(2xfyxQyxPy=+ 的特解的特解, 那么那么* 2* 1yy +就是原方程的特解就是原方程的特解. 解的叠加原理解的叠加原理解的叠加原理)(xfqyypy=+ 解的叠加原理解的叠加原理)()()(xfyxQyxPy1=+ )()()(xfyxQyxPy2=+ )()()()(xfxfyxQyxPy21+=+ * 21yyy+=解的叠加原理（续）10.5二阶常系数线性微分方程n二阶常系数线性齐次微分方程的求解n二阶常系数线性非齐次
8、微分方程的求解x mexPxf)()(=( )ypyqyf x+=)sin()()cos()()(xxPxxPexfnlx+=( )ypyqyf x+=)(1)1( 1)(xfyPyPyPynnnn=+Ln阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0=+ qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy=+ 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式p, q 为常数为常数二阶常系数齐次线性微分方程p, q 为常数为常数, 是方程的解是方程的解设想设想rxey =将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2=
9、+rxeqprr, 0rxeQ故有故有02=+qprr特征方程特征方程,2422,1qppr=特征根特征根0=+ qyypy特征方程和特征根. 是一个解是一个解为一个特征根时，为一个特征根时，当当rxeyr=特征方程的根的类型n两个不相等的实根n两个相等的实根n一对共轭复根1.有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr+=,2422qppr=,1 1xrey =,2 2xrey =两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;21 21xrxreCeCy+=)0(特征根为特征根为0=+ qyypy02=+qprr两个不相等的实根2.有两个相等的实根有两个
10、相等的实根,221prr=)0(=,1 1xrey =一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(1 21xrexCCy+=特征根为特征根为0=+ qyypy02=+qprr两个相等的实根1 2r xyxe=另一特解为另一特解为它们线性无关。它们线性无关。3.有一对共轭复根有一对共轭复根1,ri=+2,ri=)0(两个特解：两个特解： 1cos,xyex=2sin,xyex=得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx+=特征根为特征根为一对共轭复根02=+qprr0=+ qyypy复根复根实根实根实根实根通解的表达式通解的表达式特征根的情况特征根的情
11、况21rr 21rr =ir=2, 1xrxreCeCy2121+=xrexCCy2)(21+=)sincos(21xCxCeyx+=小结230yyy=1 求微分方程求微分方程的通解的通解20yyy+=2 求微分方程求微分方程 满足条件满足条件的特解。的特解。0042,xxyy= 例题1（常系数齐次线性方程）.052的通解的通解求方程求方程=+ yyy解解特征方程为特征方程为,0522=+ rr解得解得1 212 ,ri= ，故故所所求通解为求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx+=例例例题2 （常系数齐次线性方程）20yyy+=例 求微分方程例 求微分方程 满足条件满足条件的特解。
12、的特解。0042,xxyy= 解：特征方程为解：特征方程为2210rr+ =特征根特征根1 21,r= 11,xxyeyxe=特解为特解为通解为通解为12()xyCC x e=+()1021221200422()(xx xxyCyCCC x eCCC= = =42()xyx e=+例题3 （常系数齐次线性方程）一、求一、求下列下列微分方程的通解微分方程的通解: 1、04= yy 2、02520422 =+xdtdx dtxd3、0136=+ yyy 4 12xyCC e=+5 2 12()txCC t e=+3 1222(cossin)xyeCxCx=+练习题)(xfqyypy=+ 二阶常系数
13、线性二阶常系数线性非齐次非齐次方程的标准形式方程的标准形式)(xfqp,为常数为常数 不是常函数不是常函数 0)(xfqyypy=+ +=yyy通解通解通解通解特解特解0=+ qyypy特征方程特征方程 特征根特征根)(xfqyypy=+ 待待定定系系数法数法二阶常系数线性非齐次方程(1)x mexPxf)()(=次次多项多项式式为为mxPm)(2)( )( )cos()( )sin()x lnf xeP xxP xx=+( )ypyqyf x+=（关关键键是求特解是求特解问题）问题）两种类型用待用待定定系系数法求特解数法求特解.第一种类型（1）x mexPxf)()(=( )ypyqyf x
14、+=不是特征方程的根不是特征方程的根，若若)1(, 02+qp),()(xQxQm=可可设设;)(x mexQy=设设非非齐方程特解为齐方程特解为xexQy)(=代入原方程代入原方程 )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm=+ 第一种类型（2）x mexPxf)()(=( )ypyqyf x+=设设非非齐方程特解为齐方程特解为xexQy)(=代入原方程代入原方程 )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm=+ 是特征方程的是特征方程的单单根根，若若)2(, 02=+qp , 02+ p),()(xxQxQm=可可设设;)(x mexxQy=第一种类型（3）x mexPx
15、f)()(=( )ypyqyf x+=设设非非齐方程特解为齐方程特解为xexQy)(=代入原方程代入原方程 )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm=+ 是特征方程的是特征方程的重重根根，若若)3(, 02=+qp , 02=+ p),()(2xQxxQm=可可设设.)(2x mexQxy=, )(xQexymxk=设设 =是是重重根根是是单单根根不是根不是根2,10k次次多项多项式式为为mxPm)(xypyqye+=相当相当于于为为0次次多项多项式的情况式的情况( )mPx( )mypyqyPx+=相当相当于于0 =的情况的情况第一种类型特解形式小结x mexPqypyy)( =+解解对
