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1、FEPG 参考手册参考手册 基于 FEPG 的 有 限 元 方 法 有 限 元 方 法 北京飞箭软件有限公司 北京飞箭软件有限公司 2003 年 3 月 2003 年 3 月 前前 言言 本教材的目的是为了帮助 FEPG 系统的用户更好地理解和掌握该 系统，从有限元方法原理，从有限元软件的程序结构和数据结构，从 有限元的输入数据形式， 以及软件设计方法等方面对系统进行具体阐 述。 众所周知，有限元方法是结构力学家发明的，其基本原理是基于 变分法与分片插值多项式两项技术， 但是有限元技术的推广与研究的 深入使得今天的有限元方法已突破了这两项技术的范围。例如，为了 把有限元方法应用于非结构力学领域
2、，如流体力学领域，人们不得不 采用虚位移原理即“弱形式”取代变分原理，为了求解无界区域问题 或者奇点问题， 采用非多项式的形函数 （基函数） 将具有更好的精度， 因此形函数不得不突破分片插值多项式的限制。 FEPG 系统是基于虚位移原理（即弱形式）而不是变分原理，要 求用户书写弱形式的微分方程表达式， 因此本教材的第一章通过对不 同领域的微分方程表达式推导其弱形式， 让用户对微分方程弱形式的 推导有一般性的了解， 但是一个好的弱形式可能是专家经过多年的研 究后取得的成果，并不是轻而易举就可得到的。 教材的第二章给出各种常用的分片插值多项式形函数表达式及 其推导的一般性方法，但本系统允许用户使用
3、非多项式形函数。第三 章给出本系统有限元程序所需的输入数据的一般形式。 第四章论述了 FEPG 系统的有限元计算程序结构，并给出全部 FORTRAN 源程序及其 详细的说明。 目目 录录 第一章第一章 偏微分方程的“弱”形式偏微分方程的“弱”形式 虚位移原理 虚位移原理 1.1 偏微分方程的弱解形式1 1.1.1 问题的提出1 1.1.2 偏微分方程弱解的积分形式-虚位移原理2 1.2 稳态问题弱解的积分形式2 1.2.1 分部积分公式3 1.2.2 二维稳态热传导问题的“弱”形式4 1.2.3 三维线弹性小变形静态问题的“弱”形式6 1.2.4 三维稳态渗流问题的“弱”形式11 1.2.5
4、二维粘性不可压缩流体稳态 Navier_Stokes 方程的“弱”形式14 1.2.6 三维静电场问题的“弱”形式16 1.2.7 三维柱坐标静电场问题的“弱”形式18 1.3 瞬态问题的“弱”形式19 1.3.1 三维线弹性小变形动态问题的“弱”形式20 1.3.2 三维瞬态热传导问题的“弱”形式23 1.3.3 二维粘性不可压缩流体瞬态 Navier_Stokes 方程的“弱”形式25 1.4 求解解梯度的最小二乘法27 1.4.1 已知位移求应力28 1.4.2 已知温度求热流密度29 1.4.3 已知电势求电场强度30 第二章第二章 分片多项式的形函数分片多项式的形函数 2.1 插值函
5、数与单元类型31 2.1.1 一维 Lagrange 单元31 2.1.2 二维单元33 2.1.3 三维单元38 2.2 等参单元43 2.2.1导数之间的变换46 2.3 数值积分49 2.3.1 高斯积分49 2.3.2 节点积分51 第三章 有限元输入数据形式 第三章 有限元输入数据形式 3.1 FEPG 系统的有限元输入数据组成简述54 3.1.1 输入数据形式54 3.1.2 输入数据框图54 3.1.3 表格文件的读写格式55 3.2 单场问题的有限元输入数据55 3.2.1 坐标数据表格55 3.2.2 节点规格数表格55 3.2.3 指定节点位移和节点荷载信息表格56 3.2
6、.4 初始值表格56 3.2.5 单元信息数据57 3.3 有限元输入数据的显示和查询58 3.4 FEPG 系统的 PRE 文件58 3.4.1 线性的、 与时间无关的问题58 3.4.2 非线性、 依赖时间问题62 3.5 多场问题的有限元输入数据68 3.5.1 场的命名约定68 3.5.2 多场问题举例说明69 第四章第四章 有限元方法的源程序有限元方法的源程序 4.1 有限元程序结构与元件化程序设计方法76 4.1.1 程序结构76 4.1.2 元件化程序设计方法76 4.1.2.1线性稳态有限元问题77 4.1.2.2线性动态有限元问题78 4.1.2.3非线性稳态有限元问题79
7、4.1.2.4非线性动态有限元问题79 4.2 元件程序的结构81 4.2.1 START元件程序81 4.2.1.1功能82 4.2.1.2命令行参数说明82 4.2.1.3参数及数组说明83 4.2.1.4源程序83 4.2.1.5 Fortran 源程序88 4.2.2 BFT元件程序89 4.2.2.1功能89 4.2.2.2命令行参数说明90 4.2.2.3参数及数组说明90 4.2.2.4源程序91 4.2.2.5 Fortran 源程序94 4.2.3 E元件程序96 4.2.3.1 功能96 4.2.3.2命令行参数说明97 4.2.3.3参数及数组说明97 4.2.3.4源程
8、序98 4.2.3.5 Fortran 源程序107 4.2.4 SOLV求解器109 4.2.4.1 功能109 4.2.4.2 命令行参数说明109 4.2.4.3 源程序109 A.直接法求解109 B.迭代法求解119 4.2.4.4 Fortran 源程序129 4.2.5 U 元件程序131 4.2.5.1 功能131 4.2.5.2 命令行参数说明131 4.2.5.3 参数及数组说明132 4.2.5.4 源程序132 4.2.5.5.Fortran 源程序134 FEPG 中级教程 第一章第一章 偏微分方程的“弱”形式偏微分方程的“弱”形式 虚位移原理虚位移原理 1.1 偏微
9、分方程的弱解形式 1.1 偏微分方程的弱解形式 1.1.1 问题的提出 工程或物理学中的许多问题， 通常是以未知场函数应满足的偏微分方程和边 界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u应满足偏微分方程组 ,0)()()(21 内）（在= =MuAuAuA (1.1.1) 域可以是体积域、面积域等，如图 1.1.1 所示。同时未知函数u 还应满足边界 条件 上）（在= =0)()()(21MuBuBuB (1.1.2) 是域的边界。 y 0)(=uB 0 x 域 0)(=uA 图 1.1.1 要求解的未知函数可以是标量函数场(例如温度)， 也可以是几个变量组成的向量函数场(例如位移、应变、
10、应力等)。是表示对于独立变量(例如空间坐标、时间坐标等)的微分算子。偏微分方程数应和未知场函数的数目相对应， 因此， 上述偏微分方程可以是单个的方程， 也可以是一组方程。 所以在式(1.1.1) 和(1.1.2)中采用了矩阵形式。 uBA,对于工程或物理学中遇到的偏微分方程一般是没有理论解的， 即未知函数没 有解析表达式。 而工程上又需要了解这些未知函数， 所以我们一般用数值的方法 来求解这些偏微分方程。 有限元方法就是一种数值求解偏微分方程的方法， 它实- 1 - FEPG 中级教程 际上求解的是偏微分方程的弱解积分形式， 所以我们需要先将偏微分方程变成其 弱解积分形式，才能使用有限元方法。 1.1.2 偏微分方程弱解的积分形式-虚位移原理 由于偏微分方程组(1.1.1)在域中每一点为零，因此就有 0)()()(2211+duAvuAvduAVTL (1.1.5) 其中 V (1.1.6) =M21 vvV是向量函数， 我们称为试验函数或虚位移函数， 它是一组和偏微分方程个数相 等的任意函数。 我们称式(1.1.5)是偏微分方程组(1.1.1)的积
