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1、第第 21 节节 三角函数的概念与恒等变形三角函数的概念与恒等变形（上）（上） 角的概念的推广和弧度制角的概念的推广和弧度制知识点归纳知识点归纳 1弧度制 （1）定义：我们把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫 1 弧度角 （2）角度制与弧度制的互化：=180 1801= ； 1 弧度=3 .57180 （3）弧长公式：rl|=（是圆心角的弧度数） （4）扇形面积公式：2|21 21rrlS= 2角和终边相同：2,kkZ=+ 3.终边落在特殊位置时对应角的集合为： 角的终边所在位置 角的集合 x 轴正半轴 |2,kkZ = y 轴正半轴 |2,2kkZ =+x 轴负半轴 |2,kkZ =+ y 轴负
2、半轴 3|2,2kkZ =+x 轴 |,kkZ = y 轴 |,2kkZ =+坐标轴 |,2kkZ =4.具有特殊对称性的角的关系： 若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：2k=，kZ； 若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：2k=+，kZ； 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k=+，kZ 4EA若角与角的终边关于 y=x 对称，则角与角的关系：2,2kkZ=+ 149 任意角的三角函数、诱导公式任意角的三角函数、诱导公式知识点归纳知识点归纳 1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点， 始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点),(yx
3、P，点P到原点的距离记为2222(|0)r rxyxy=+=+， 那么siny r=； cosx r=； tany x= （cotx y=； secr x=； cscr y=） 同角三角函数同角三角函数关系关系 倒数关系：sincsc1=，cossec1=，tancot1= 商数关系：sintancos=，coscotsin= 平方关系：22sincos1+=，221tansec+=，221 cotcsc+= 2 三角函数的符号： 三角函数在各象限的符号： 正切、 余切正切、 余切余弦、 正割余弦、 正割-+-+正弦、 余割正弦、 余割oooxyxyxy说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三
4、角函数值 3特殊角的三角函数值： 0 30 45 60 90 180 270 15 75 sin 0 2122231 0 1 62 462 4+cos 1 2322210 1 0 62 4+62 4tan 0 331 3 0 2- 3 2+ 3 sin + + cos + + tan + + cot + + r oxya的终边的终边P（ （ x,y)O R 1 弧度 R 150 4三角函数线 正弦线：MP；余弦线：OM；正切线： AT.（完成另外 3 个象限的情况） 5三角函数的定义域、值域： 函 数 定 义 域 值 域 siny= R 1,1 cosy= R 1,1 tany= |,2kkZ
5、 + R 6诱导公式：记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限” 诱导公式一：sin(2)sink+=，cos(2)cosk+=，其中kZ 诱导公式二： sin(180)+=sin； cos(180)+= cos 诱导公式三： sin()sin= ； cos()cos= 诱导公式四：sin(180)sin=； cos(180)cos= 诱导公式五：sin(360)sin= ； cos(360)cos= TMAOPxy151 两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切知识点归纳知识点归纳 1 两角和、差公式 sincoscossin)sin(=； sinsincosc
6、os)cos(=； tantantan()1tantan=重要变形公式：tantantan()(1tantan)= 2二倍角公式 cossin22sin=； 2222sin211cos2sincos2cos=； 22tantan21tan=3.降幂公式 22cos1sin2=；22cos1cos2+=， 升幂公式 21 cos2sin2=;21 cos2cos2+= 4辅助角公式：()22sincossinaxbxabx+=+ 2222sincosbaabab= +其中， 5一些常用恒等变形： 21 sin(sincos)22+=+; 21 sin(sincos)22= 2(sincos)1
7、sin2+= +; 2(sincos)1 sin2= sincos2sin()2cos()44+=+= 1tantan()1tan4+=+152 1sincos12tantancossinsincossin2+=+= 1sincoscos22cos2tan2cot2tancossinsincossin2= 5.半角公式 2cos1 2sin=；2cos1 2cos+=； 1 cossin1 costan21 cos1 cossin = =+ 6.万能公式 22tan2sin 1tan2= +；221tan2cos 1tan2 = +； 22tan2tan 1tan2= 7.积化和差公式 )si
8、n()sin(21cossin+=；)sin()sin(21sincos+=； )cos()cos(21coscos+=；)cos()cos(21sinsin+= 8.和差化积公式 2cos2sin2sinsin+=+；2sin2cos2sinsin+=； 2cos2cos2coscos+=+；2sin2sin2coscos+= 典型例题典型例题 三角函数的概念三角函数的概念 例 1.（1）1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是 ，合 弧度 解：25；5 36 （2）的终边与6的终边关于直线xy =对称，则_ 解：Zkk+,32 例 2 （1） （04浙江）点P从()1,0出发，沿单位圆
9、122=+ yx逆时针方向运动32弧长到达Q点，则Q的坐标为 153 （2）若角的终边经过点 P(4a,3a)(0)a ,求的正弦、余弦、正切值. 例 3 （1） （05全国）已知为第三象限角，则2所在的象限是 （2）如果是第一象限的角，那么3是第几象限的角？ 例 4.（1）已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积 （答：22cm） （2） 已知一扇形的中心角为，所在圆的半径为R. 若60=，10Rcm=，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； 若扇形的周长是一定值C()0C ，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 例 5.（1） （04辽宁）若则角且, 02
10、sin, 0cos，则的取值范围为 例 9.（1）若08.反函数法:例如cos cosax bycx d+=+cos( )xfy= 求单调区间：化为单一函数，如sin()yAxb=+,利用sin x的单调区间x+的范围x范围 周期: sin()yAxb=+ 2T =;tan()yAx=+ T =奇偶性:首先看定义域是否关于原点对称;再看( )f x与()fx关系 161 解斜三角形的一般步骤 由已知条件作图 将已知表示于图上 判断应用正弦还是余弦定理 注意:已知 a,b 和 A 求解 当 A 为锐角:sinabA 一解 注意解是否唯一 余弦定理 解斜三角形的一般步骤 应用应用应用应用2sinsinsinabc RABC=，R是ABC的外接圆半径 已知两角和一边 已知两边和其中一边所对角（讨论解的情况） 正弦定理 已知两边及其交角 已知三边求角 三角形面积定理 2222cosabcbcA=+ 222 cos2bcaAbc+=1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB= 解斜三角形解斜三角形 162
