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1、课后第二章习题解答课后第二章习题解答1. .（1 1） R Rnnnn中的子集中的子集“上三角阵上三角阵”和和“正交矩阵正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。对矩阵乘法是封闭的。 （2 2）R Rnnnn中的子集中的子集“正交矩阵正交矩阵” ， “非奇异的对称阵非奇异的对称阵”和和“单位上（下）三角阵单位上（下）三角阵”对矩阵对矩阵 求逆是封闭的。求逆是封闭的。 设设 A A 是是的正交矩阵。证明的正交矩阵。证明 A A-1-1也是也是的正交矩阵的正交矩阵。证明：证明：(1),n nABA BR 证证明明：为为上上三三角角阵阵，为为上上三三角角阵阵，10(),0(),0(),()() ),() ()i
2、jijnijikkjij kn nTTTTTTTTTTaij bijCABca bcijABA BRAAA AE BBB BEABABABB AEABABB A ABEAB 则则上上三三角角阵阵对对矩矩阵阵乘乘法法封封闭闭。以以下下证证明明：为为正正交交矩矩阵阵，为为正正交交矩矩阵阵，为为正正交交矩矩阵阵, ,故故正正交交矩矩阵阵对对矩矩阵阵乘乘法法封封闭闭。（2 2）A A 是是的正交矩阵的正交矩阵AA A A-1-1 =A=A-1-1A=EA=E 故（故（A A-1-1）-1-1=A=AAA-1-1（A A-1-1）-1-1= =（A A-1-1）-1-1A A-1-1 =E=E 故故 A
3、 A-1-1也是也是的正交矩阵。的正交矩阵。 设设 A A 是非奇异的对称阵，证是非奇异的对称阵，证 A A-1-1也是非奇异的对称阵。也是非奇异的对称阵。 A A 非奇异非奇异 AA 可逆且可逆且 A A-1-1非奇异非奇异又又 A AT T=A=A （A A-1-1）T T= =（A AT T）-1-1=A=A-1-1故故 A A-1-1也是非奇异的对称阵也是非奇异的对称阵 设设 A A 是单位上（下）三角阵。证是单位上（下）三角阵。证 A A-1-1也是单位上（下）三角阵。也是单位上（下）三角阵。 证明：证明：A A 是单位上三角阵，故是单位上三角阵，故|A|=1|A|=1，AA 可逆，
4、即可逆，即 A A-1-1存在，记为（存在，记为（b bijij）nnnn由由 A A A A-1-1 =E=E，则，则 （其中（其中 j ji i 时，时，） njikjkijba10ija1iia故故 b bnnnn=1,=1, b bnini=0=0 (nj)(nj)类似可得，类似可得，b biiii=1=1 (j=1n)(j=1n) b bjkjk=0=0 (k(kj)j)即即 A A-1-1是单位上三角阵是单位上三角阵 综上所述可得。综上所述可得。R Rnnnn中的子集中的子集“正交矩正交矩阵” ， “非奇异的对称阵非奇异的对称阵”和和“单位上（下）单位上（下） 三角阵三角阵”对矩阵
5、求逆是封闭的。对矩阵求逆是封闭的。 2 2、试求齐次线行方程组、试求齐次线行方程组 Ax=0Ax=0 的基础解系。的基础解系。 A=A= 541000011014121解解：A= 541000011014121541005401014121 5410054010400215410054010148001故齐次线行方程组故齐次线行方程组 Ax=0Ax=0 的基础解系为的基础解系为， 01448110551423.3.求以下矩阵的特征值和特征向量。求以下矩阵的特征值和特征向量。A A1 1= =， A A2 2 2543221111122解解：A1=，|I- A1|= 2543 2543 0145
6、2，7122解（解（1 1I-I- A A）x=0x=0 得得 111解（解（2 2I-I- A A）x=0x=0 得得 5424 4、已知矩阵、已知矩阵，求，求 A A 的行空间的行空间及零空间及零空间的基。的基。121124301215A ()TR A( )N A解：解：121121121242000010131050001105024000TA Q Q()3Tr A ()1211,2430121502100( )2100TTTTTTR AAxxN A 1 12 23 3的的基基为为和和由由可可解解得得的的基基为为。5、已知矩阵、已知矩阵，试计算试计算 A 的谱半径的谱半径。3212301
7、03A ( )A 解：解：2321 ( )det()230(3)(64)0 103AfIA max35( )35.A 6、试证明、试证明，其中2 2 112212211221,REEEEEE 是是中中的的一一组组基基。11121001,0000EE 。22210000,1001EE 1222112112211221134 1122122112212341 34411221221122123410010000,00001001010110100000EEEEEEEEkkkkkkkEEEEEEkkkkkkEEEEE 解解：，（）（）令令因因此此（）（0000OE ）1233111221221221
8、1221 11122112212211222 2 1122122112210,22 ,kkkkaaAVaaaaaaAaaEEEEEEREEEEEE 对对于于任任意意二二阶阶实实矩矩阵阵有有（）（）是是中中的的一一组组基基。7 7、在、在 R R4 4中求向量中求向量 x=x=（1 1，2 2，1 1，1 1）T T在基在基 S=S=（1 1，2 2，3 3，4 4）下的坐标，其中）下的坐标，其中1 1= =（1 1，1 1，1 1，1 1）T T， 2 2= =（1 1，1 1，-1-1，-1-1）T T，3 3= =（1 1，-1-1，1 1，-1-1）T T，4 4= =（1 1，-1-1
9、，-1-1，1 1）T T。解：由解：由 x=syx=sy 得得 y y-4-4=s=s-1-1x=x=414141451121111111111111111118 8、在、在中向量中向量，取基，取基，求，求。2( )P t2 2( )12P ttt 21,2,Sttt 2( )P t 在在基基下下的的坐坐标标 22 22 2123( )12,1,2,( )(1)(2)P tttStttP tk tk tk t 解解：基基令令 312121232 22121322( )1,2,-3 2 2.TkkkkkkkkP tSttt 则则有有，解解之之得得，。在在基基下下的的坐坐标标为为（，）9 9、已
10、知、已知 R R3 3中两组基中两组基S S1 1=1 1，2 2，3 3=，S S2 2=1 1 ，2 2 ，3 3 = 110,101,111 111 , 100 , 101 求从求从 S S1 1 到到 S S2 2的过度矩阵；的过度矩阵； 设已知设已知 u=u=（2 2，1 1，2 2）T T R R3 3求求 u u 在在 S S1 1 下的坐标和下的坐标和 u u 在在 S S2 2下的坐标。下的坐标。解：解： A=A= S S1 1-1-1S S2 2= = 2120111121111001011111010111 对对 u=u=（2 2，1 1，2 2）T T在在 S S1 1
11、 下，由下，由 u=Su=S1 1x x 可求出可求出 x=x= S S1 1-1-1u=u= 312在在 S S2 2下，由下，由 u=Su=S2 2x x 可求出可求出 x=x= S S2 2-1-1u=u= 11010.10. 已知已知 A=A=，求，求 dim(R(A),dim(R(A), dim(R(Adim(R(AT T),), dim(N(A).dim(N(A). 895143131311解：解：A=A= 895143131311dim(R(A)=dim(R(Adim(R(A)=dim(R(AT T)=r(A)=2)=r(A)=2 dim(N(A)=n-r=4-2=2dim(N(A)=n-r=4-2=21111、已
