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1、验结果及其误差情况分析, 其中 X, Y 表示踏面外形点在试验检测系统坐标系中的坐标值。图中的两条 外形曲线, 一为实线, 一为离散点, 可以看出它们几乎完全重合。误差曲线是外形曲线 Y 方向的差值,从曲线可看到踏面平坦处的误差较小, 轮缘处的误 差值较大, 最大出现了误差 013mm 的尖点。这是由于踏面处切线斜率小、 平坦, 而轮缘处切线斜率较大、 比较陡峭。但从整个误差曲线来看, 误差公差带小于 0115, 由此可以间接说明检测系统的重复精度 大约为 ? 0108mm。可以肯定, 若分析两条外形曲线上点的法线方向误差, 其误差值一定比图 3 所示的误差还小。4 结语( 1) 测量头采用磁
2、性滚轮, 避免了在轮对上滑行时的弹跳问题。 ( 2) 光电编码器及其差分脉冲计数测量方式, 无模拟信号和 A/ D 转换的零漂、 温漂问题, 抗干扰性好, 数据稳定。(3) 检测系统采用并联杆机构的伸缩机构作为传感器的执行机构, 刚度好、 误差小、 加工要求低。( 4) 测量精度可以满足轮对检测的需要, 是一种 切实可行的轮对参数检测方案, 尤其适合于车辆段轮对的检修。参考文献1 Coenraad Esveld. 测量轮轨轮廓的有效方法. 铁道机车车辆, 1995 (2) : 63 662 白福生. 轮对自动检测机的研制及其应用. 机车车辆工艺, 1997 (2) : 27 303 马 林.
3、车轮踏面外形几何参数的检测技术. 国外铁道车辆, 1998 (6) : 40 424 黄曙光, 黄 海, 吴乃优等. 铁路货车轮对自动检测系统的研制. 机电工程技术, 2002 ( 2): 22 235 Zahid F Mian , Thomas Hubin. Method and System forContact-less Measurement of Railroad Wheel Charac- teristics. 美国.发明专利, 5636026, 19976 杨 斌等. 轮对自动检测系统的研究. 铁道机车车辆 2000(6) : 43 45第一作者: 姜新生, 硕士研究生, 西南交
4、通大学牵引动力国家重点实验室, 610031 成都市收稿日期: 2004 年3 月分形理论及分形参数计算方法李伯奎1 杨 凯2 刘远伟11淮阴工学院 2南京航空航天大学摘 要: 介绍了分形理论及其数学基础, 重点阐述了分形维数和尺度系数的计算方法及其各自的物理意义, 指出了用分形方法来描述机加工表面的可行性和优越性。关键词: 分形维数, 尺度系数, 表面Fractal Theory and Calculation Method of Fractal ParameterLi Bokui Yang Kai Liu YuanweiAbstract: After introducing fractal
5、theory and itsfoundation, the calculation method and physical properties of fractal dimen -sion and amplitude coefficient are presented, andthe feasibility and advantage of fractal analysisto discribe the surface characteris -tics are pointed out.Keywords:fractal dimension, amplitude coefficient, su
6、rface1 引言分形 ( fractal) 这个 词最初 由曼德 尔布罗 特(B1B1Mandelbrot) 提出。分形的研究对象是自然界 常见的、 变幻莫测的、 不稳定的、 非常不规则的现象。分形既可以在自然界当中找到, 也可以用数学模型生成。曼德尔布罗特意识到如果只用传统的欧氏几何不可能描述自然界当中的物体, 因为欧氏几何所 研究的图形只限于规则的点、 线、 曲线、 面等, 量仅仅能够以整数形式度量, 比如一个三维的球能够由一 个二维的影子, 并带有一维的外形轮廓。分形和分形几何却可以用来描述真实的物体, 如树木、 闪电、 蜿蜒曲折的河流和海岸线。分形几何学与欧氏几何学的差异如表1 所示
7、。迄今为止, 分形仍然没有一个严格的定义。曼 德尔布罗特在他早期的文章中, 定义了分形集是满80工 具 技 术足豪斯道夫(Hausdorff) 维数严格大于其拓扑维数的集合, 由于这个定义并不能令人满意。后来又有一些学者提出了另外的定义, 但这些定义看来都有些不足。当前普遍的看法是, 不寻求分形的确切定义,而将分形集看作是具有一定性质的集合。法科纳(Falconer) 从数学角度给出了分形集 F 的性质的描述:表 1 分形几何与欧氏几何学的差异描述对象特征尺度描述方式维数欧氏几何学人类创造的 简单物体有数学语言0 及正整数分形几何学大自然创造的 真实物体无迭代语言分维数( 1) F 具有精细的
8、结构, 即在任意小的比例尺度内包含整体。( 2) 无论从局部和整体上看, F 是如此的不规则以至于不能用传统的几何语言来描述。( 3) 通常 F 具有某些自相似性, 或许是近似的,或许是统计意义下的。(4) 通常 F 的/ 分形维数0比它的拓扑维数要大。 (5) 在许多情况下, F 的定义是非常简单的, 或许是递归的。2 分形理论的基本内容2. 1 自相似性一个分形的某种结构或过程从不同的空间或时间尺度来看都是自相似的。事实上, 在标度区内具有对称性, 即表征自相似系统或结构的定量性质, 如分维数, 并不会因为放大或缩小等而变化, 所改变的只是系统的外部形式, 即系统的部分和整体之间存在自相似
9、性。虽然这种定义不完备, 但抓住了分形的本质特征) 自相似性。 通常所说的自相似可以分为两类: 一类是完全相似, 由数学模型生成, 如图 1 所示科赫曲线的构造: 设 E0为一单位线段, 将其三等分, 中间的 1/ 3 用边长为 1/ 3 的等边三角形向上指的另两条边代替,得到的集记为 E1, 它包含四条线段。对 E1的每条线段重复这一过程得到 E2。归纳得到 Ek和 Ek+ 1。当 k 充分大时, Ek+ 1与 Ek只在精细的细节上不同。当 k y 时, 极限曲线称为科契曲线, 被人们用来做典型的海岸线模型, 它可以刻画出真实海岸线的复杂性和粗糙程度。又如谢尔宾斯基垫的构造, 数学过程简单描
10、述为: 在每步构造中都将前次的正三角形等分成 4 个小正三角形并去掉中间的一个, 这一构造过程的极限图形是一曲线, 称为谢尔宾斯基垫,如图2 所示。 另外一类就是自然界中的分形, 如蜿蜒曲折的海岸线、 云彩的形状等, 其相似性并不是严格的, 只是在一定的标度内才具有自相似性, 它们具有统计意义下的自相似性, 通常称为随机分形或无规则分 形。因这种随机分形有比较复杂的表现形式, 所以将其局部放大一定倍数不一定会简单地和整体完全重合。图 1 科赫曲线图2 谢尔宾斯基垫片2. 2 无标度性在具有分形性质的物体上任选一局部区域, 由于其自身具有自相似性, 对它进行放大后, 得到的放大图形会显示出原图的
11、形态特性, 即它的形态、 内在 的复杂程度、 不规则形等各种特性, 与原图相比均不会发生变化, 如上面讨论的科契曲线的性质, 这种特性称为无标度性, 又称为伸缩对称性。 李后强等从应用的角度对分形的无标度性作了扩充:( 1) 分形既可以是几何图形, 也可以是由/ 功能0或/ 信息0架起的数理模型。 ( 2) 分形可以同时具有形态、 功能和信息三方面的自相似性, 已可以只有其中某一方面的自相似性。( 3) 自相似性可以是数学意义上的严格自相似,也可以是统计意义上的自相似, 自然界中的大多数 分形是统计自相似的。( 4) 相似性有层次结构上的差异。数学中的分形, 具有无限嵌套的层次结构, 而自然界
12、中的分形只 有有限层次的嵌套, 且要进入到一定的层次结构以后才有分形的规律。( 5) 相似性有级别上的差异。级别最高的是整体, 最低的是零级生成元。级别越接近, 则越相似; 级别相差越大, 相似性越差。( 6) 自然界的分形往往具有一个最小标度和最大标度, 在这个区间内才存在着标度不变性。我们 称这个区间为无标度区间。具有分形特征的物体, 没有特征尺度, 却含有一812004 年第 38卷l 12切尺度的要素, 在每个层次上都有复杂的细节, 正是分形几何具有的无标度性及自相似性, 才给出了大自然中复杂集合形态的精确描述。这种无标度性的 区间限制了分形存在的范围, 而且有了无标度性这一概念后,
13、就可以给出维数的定义和一些计算方法。3 分形的数学基础3. 1 分形维数曼德尔布罗特曾经提出一个著名的问题:/ 大不列颠的海岸线到底有多长?0, 测量海岸线的长度, 一 般采用折线近似的方法。选择一个单位尺度 E , 即设折线的每一段长度为 E , 如果总共有 N( E) 段, 就认为海岸线的长度为 L ( E)=N( E ) E 。实际上, 海岸线是由许多海湾海角组成的, 大些的尺度无法度 量小的海湾和海角, 就把它们忽略了, 测量的结果是不定的, L( E ) 的大小显然与 E的选择有关。一般认为: 随着 E越来越小, L( E ) 会很快趋于一个稳定的 值, 即是这段海岸线的/ 真正0长
14、度; 其实不然, 随着E的越来越小, 能够测量的海湾海角也越来越多, 以至于数不清, N( E ) 也越来越大。如果以一个典型的科赫( Van Koch) 曲线表示海岸线, 可以看到此时海 岸线的长度将趋于无限大。因此, 要度量或比较不同的海岸线, 我们应找一个与 E无关的量来表示, 事实上, 在对折线近似海岸线的研究中已经得出: N ( E ) E D= 常数。其中, D 是不依 E的变化而变化的,一般也不是一个整数, 曼德尔布罗特认为这就是分维数, 常常称为分形维数, 它才是海岸线的一个真正的特征量。分形维数的引入给出了一个关于集合的 复杂度、 不规则度的定量回答。分形维数的求取有一个上下
15、限的问题。如对云彩形状的描述, 必须有一个对照的物体, 即有一个衡量的尺度。如果以地球的大小为基准, 一朵云彩不 过是一个点; 如果以显微镜的大小观察, 云彩是大小水滴的集合体, 并未形成自相似。所以上限和下限具有抑制各种量发散的效果, 这个区域既为无标度 区, 在此区域内观察物体, 会出现自相似的结构。分形维数 D 度量了系统填充空间的能力。例如科赫曲线的分维数是 4/ 3, 它显然要比一条光滑的曲线( 维数为 1) 的填充能力要大。或者说, 只有 在4/ 3 维空间里, 科赫曲线的长度才可以度量。正如一个正方形在三维空间里度量时, 它的体积为零,而在一维空间里度量时, 它的长度为无穷大,
16、只有在 二维空间里度量时, 它的面积才为大于零的有限值。3. 2 分形维数的计算方法和尺度系数为了研究分形, 人们现在已经研究出许多不同的分形维数定义和计算的方法。( 1) 自相似维数( Sel- f similar Dimension)自相似维数的引入受到规则形体如线段、 正方 形、 立方体的启发。如果把线段、 正方形和立方体的边分成两等份, 这时线段是原来一半长度的两个线段, 正方形被分成四个全等的小正方形, 立方体则被分成八个全等的小立方体。也就是说, 线段、 正方形和立方体可被看成是由 2、 4、 8个与整体相似的图形组成。2、 4、 8 个这些数字可以改写成 21、 22、 23, 这 里出现的指数分别与图形的欧氏维数与拓扑维数一致。一般地, 若把某个图形的长度( 或标度) 缩小 1/r 时得到N 个和原图形相似的图形, 有 N= r- D, 这里的指数 D 就具有维数的意义, 称为自相似维数,用数学语言描述如下。如果一个集 F 由 m 个相等的且与F 相似的部分组成, 则称 F 为自相似集。若部分与 F 的相似比 为 r, 则定义自相似维数为
