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1、欢迎登录100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.南京市一中高三年级第四次调研考试（南京市一中高三年级第四次调研考试（答案）答案） 理科数学试卷理科数学试卷一、填空题(本题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分)1. 函数的定义域为 . 答案：)1 (log23xxy1,22. 化简(cos225 +isin225)2(其中 i 为虚数单位)的结果为 . 答案：i 3. 一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所 示，那么这个几何体的体积为 . 答案：14. 抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点为二次函数的图象的221yxx顶点，则此抛物线的方程为 _.答案：24y
2、x 5.设函数,其中向量,则函数( )f xa b(2cos ,1),(cos , 3sin2 )axbxxf(x)的最小正周期是 . 答案： 6. 已知回归直线斜率的估计值为 1.2，样本点的中心为（4，5） ，则回归直线方程为 . 答案： 1.20.2yx7. 当时,函数的最小值是 . 答案：3228xx25 2xxyx8. 已知圆和直线交于 A,B 两点,O 是坐标原点, 若,则22(2)9xyykx2OAOBOuu u ruuu ru r. 答案：|AB uuu r31029. 直线与曲线相切于点，则 b 的值为 . 答案：31 kxybaxxy3)3 , 1 (A10. 与曲线共焦点
3、并且与曲线共渐近线的双曲线方程为 .1492422 yx1643622 yx答案：191622 xy11. 设、是异面直线，则(1)一定存在平面，使且；(2)一定存在平面，mnmn使且；(3)一定存在平面，使，到的距离相等；(4)一定存在无数对平mnmn面与，使，且；上述 4 个命题中正确命题的序号为 . 答案：mn(1) (3) 12. 球的半径为 2a,一平面截得球所得小圆的面积为 3a 2,则球心到这个平面的距离为 . 答案：a 13. 把 1，2，100 这 100 个自然数任意分成 10 组，每组 10 个数，将每组中最大的数 取出来，所得 10 个数的和为 S.若 S 的最大值为
4、M，最小值为 N，则 M+N= . 答案： 1505 14. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线如果与一固定直线平行的直线 被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为 k，那么甲的面积是乙的面积的，那么甲的面积是乙的面积的 k 倍倍.你可以从给出的简单图形、中体会这个原理.现在图中的曲线分别是与22221(0)xyabab，运用上面的原理，图中椭圆的面积为 .222xya答案：ab 二、解答题(本题共 6 小题，总分 90 分)15. （本题满分 14 分）已知函数，( )coscos()2f xxx （1）若，求
5、函数的最大值与最小值；0,x( )f x（2）若，且，求的值.0,6x1sin23x ( )f x答案：（1） ，2 分( )sincos2sin()4f xxxx， ， 6 分0,xQmin( )1f x max( )2f x分别在时取得. 8 分30,4xxOxy xl甲甲乙乙(将 l 向右平移)欢迎登录100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.（2），11 分0,6xsincosxx( )0f x 又1sin23x Q， . 14 分222 ( )(sincos )1 sin23f xxxx 6( )3f x 16. （本题满分 15 分）如图，已知 A、B、C 是长轴长为 4 的
6、椭圆上的三点，点 A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心 O，且=0，ACBC| 2|BCACuuu ruuu r（1）求椭圆的方程； （2）若过 C 关于 y 轴对称的点 D 作椭圆的切线 DE，则 AB 与 DE 有什么 位置关系？证明你的结论.答案：（1）A（2，0） ，设所求椭圆的方程为：=1(010 时，10181( )(102.7 )108102.798330WxR xxxxx7 分010)18198,(10)30xx W xx 21+6x+11, (3（2）当时，010x2211(1881)38(9)3833Wxxx 时，W 取得最大值，9xmax38W当时，10x 1819830
7、Wx是减函数，Q1819830Wx181198383833W综合、当时 W 取最大值9x 当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大。15 分19 （本题满分 15 分）已知函数 y=f（x）=. 为有理数）（为无理数）xx1(0（1）证明这个函数为偶函数；（2）证明 T=是函数的一个周期，进而寻找函数是否有其他的周期，最后说明这个函数1 2 的周期组成什么集合. 答案：（1）对任意实数 x，x 与-x 同为有理数或无理数，所以恒有 f（x）=f（-x） ，又定义域 关于原点对称，函数为偶函数；5 分（2）当 T=时，对任意实数 x，x 与 x+同为有理数或无理数，所以
8、恒有 f（x）1 21 2=f（x+） ，所以 T=是函数的周期； 8 分1 21 2 当 T 为有理数时，对任意实数 x 以及有理数 T，x 与 x+T 同为有理数或无理数，所以恒有 f（x）=f（x+T） ，所以 T 是函数的周期；11 分 当 T 为无理数时，f（-T）=0，f（-T+T）=f（0）=1，所以 T 不是函数的周期，函数的所有周 期组成有理数集合 15 分20 （本题满分 16 分）幂函数 y = 的图象上的点 Pn(tn2,tn)（n = 1,2,）与 x 轴正半轴x上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正PnQn1Qn（Q0与 O 重合） ，记 an = | QnQn1
9、| （1）求 a1的值； （2）求数列 an 的通项公式 an; （3）设 Sn为数列 an 的前 n 项和，若对于任意的实数 0,1，总存在自然数 k，当 nk 时，3Sn3n + 2(1) (3an1) 恒成立，求 k 的最小值.PnQnQn-1Q1P1yxO答案：(1) 由 P1(t12,t1)（t 0） ， 1 分,得 kOP1 = = tan = t1 = 1t13333P1( ,) 2 分1333a1 = | Q1Q0 | = | OP1 | = 5 分23(2)设 Pn(tn2,tn)，得直线 PnQn1的方程为：ytn = (xtn2) 3可得 Qn1(tn2,0) tn3直线
10、 PnQn的方程为：ytn = (xtn2)，可得 Qn(tn2 + ,0) 3tn3欢迎登录100 测评网 进行学习检测，有效提高学习成绩.所以也有 Qn1(tn12 + ,0)，得 tn2= tn12 + ，由 tn 0，得 tntn1 = tn13tn3tn1313tn = t1 + (n1) = n 8 分1333Qn( n(n + 1),0),Qn1( n(n1),0)1313an = | QnQn1 | = n10 分23(3)由已知对任意实数时 0,1 时 n 22n + 2(1) (2n1) 恒成立 对任意实数 0,1 时，(2n1) + n 24n + 30 恒成立12 分 则令 f () = (2n1) + n 24n + 3，则 f () 是关于 的一次函数. 对任意实数 0,1 时 (f (0) 0 f (1) 0) 14 分(n 24n + 3 0n 22n + 2 0) n3 或 n1 又 nN * k 的最小值为 316 分本卷由100 测评网整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升.
