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1、期中试题及答案期中试题及答案一填空题1 随机变量X的密度函数为2 ,01,( )0,.xxf x 其他以 Y 表示对 X 进行 3 次重复独立试验中事件12X 出现的次数，则 P2Y 解由题设(3, )YBp，11 22 011( )2,24pP Xf x dxxdx 故1(3, )4YB，于是21 2 313244P YC .2设31)()()(321APAPAP，且三事件321,AAA相互独立，则三事件中至少发生一个的概率为，三事件中恰好发生一个的概率为.解因为事件321,AAA相互独立，所以三事件中至少发生一个的概率为123123122313123()()()()()()()()P AA
2、AP AP AP AP A AP A AP A AP A A A123122313123()()()() ()() ()() ()() () ()P AP AP AP A P AP A P AP A P AP A P A P A17 27三事件中恰好发生一个的概率为123123123123123123()() () ()() () ()() () ()P A A AA A AA A AP A P A P AP A P A P AP A P A P A4 9.3设(0,2)X内均匀分布，则随机变量2XY 在（，）内的概率密度函数为.解X 的概率密度为1 2,02( )0,xf x 其它.因2XY
3、 ，先求 Y 的分布函数2( )YFyP YyP XyPyXy当0y 时，2( )0YFyP YyP Xy当04y时，2011( )0,22yYFyP YyP XyPXydxy当4y 时，( )1YFy .所以 Y 的概率密度为1,044( )( )0,YYyyfyFy 其它4 设3/2)(3)(BPAP，A与B都不发生的概率是A与B同时发生的概率的 2 倍，则)(BAP解由已知22( ),( ),39P AP B()2 (),P ABP AB而()()1()1( )( )(),P ABP ABP ABP AP BP AB 故有2 ()1( )( )(),P ABP AP BP AB 得1()
4、1( )( ),9P ABP AP B 于是5()( )().9P ABP AP AB5设,A B为两随机事件，已知8 . 0)(, )(3 . 07 . 0)(BAPBPAP，则(|)P A AB .解由已知( )0.7,( )0.4,P AP B()0.8,P AB 因()BBAA BABAB ，故( )()()P BP ABP AB，又因()( )( )()P ABP AP BP AB，得()0.3P AB ，从而()( )()0.1P ABP BP AB( ()()(|)0.5()( )( )()P A ABP ABP A ABP ABP AP BP AB.6设随机变量)1,04. 1
5、( NX，已知975. 0) 3(XP，则)92. 0(XP解因30.975P X ，故0.9751.043 1.04(1.96)P X ，0.921.040.92 1.041.041.96P XP XP X ( 1.96)1(1.96)1 0.975 7设随机变量YX,满足,1)(,4)(YDXD28)23( YXD，XY解(32 )(3 )(2 )2cov(3 ,2 )9 ()4 ( ) 12cov( , )DXYDXD YXYD XD YX Y，得cov(, )1X Y ，cov(, )1 2()( )XYX Y D XD Y.8. 设随机变量X的分布函数为：F(x) = . )3(1
6、),31(7 . 0),11(3 . 0, )1(0时当时当时当时当xxxx则X的概率分布律为_.解得X的概率分布律为9. 设随机变量2( ,)(0)XN 且二次方程240yyX无实根的概率为 0.5，则_.解二次方程240yyX无实根，即1640X，440.5164041411XPXP XP XP ，得40.5 ，由标准正态分布的对称性得40 ，即4.10. 设随机变量 X 和 Y 的数字期望都是 2， 方差分别是 1 和 4， 而相关系数为 0.5，则根据切比雪夫不等式，有6P XY_.解因()()( )0E XYE XE Y，()()( )2cov(, )()( )2()( )3XYD
7、XYD XD YX YD XD YD XD Y，所以()36()063636D XYP XYPXY.二选择题11设随机变量,X Y相互独立，)1,0( NX,)1, 1( NY，则（B）.X-113p0.30.40.3)(A2/1)0(YXP；)(B2/1)1(YXP；)(C2/1)0(YXP；)(D2/1)1(YXP.12设10个电子管的寿命iX(101i)独立同分布，且AXDi)(101i)，则10个电子管的平均寿命Y的方差)(YD（D）.（A）A；（B）A1 . 0；（C）A2 . 0；（D）A10.13设随机变量X的分布律为：6 . 0)( aXP，pbXP )(，)(ba .又4 .
8、 1)(XE24. 0)(XD，则ba,的值为（A）.(A)2, 1ba； (B)2, 1ba； (C)2, 1ba；(D)1,0ba.14下列各函数中可以作为某个随机变量X的分布函数的是（C）.(A)xxFsin)(；(B)211)(xxF；(C) ; )0(1, )0(11 )(2 xxxxF；(D) ; )1(1 , )10(1 . 1, )0(0)( xxxxF15设事件A与B互斥，,0)(,0)(BPAP则下列结论中一定成立的有（D） (A)A与B互不相容；(B)A,B为对立事件；(C)A与B相互独立 ；(D)A与B不独立.16. 设X为随机变量，若1 . 1)(2XE，1 . 0)
9、(XD，则一定有（B）.(A)9 . 0) 11(XP；(B)9 . 0)20( XP；(C)9 . 0) 11(XP；(D)1 . 0) 1(XP.17. 对于以下各数字特征都存在的随机变量 X 和 Y，如果()() ( )E XYE X E Y，则有（ B）（A）()()( )D XYD X D Y;（B）()()( )D XYD XD Y;(C)X 和 Y 相互独立;(D)X 和 Y 不相互独立.三计算题18随机变量X的密度函数为 . )(0 , )20()(2他其xAxxf试求 （1）系数A；（2）概率)21 ( XP；（3）分布函数)(xF.解（1）由于( )f x为随机变量X的密度
10、函数，故必须满足( )0f x ，( )1f x dx，而2208( )3f x dxAx dxA，得3 8A .于是X的概率密度为23,02 ,( )8 0,.xxf x 其他（2）12PX22137 88x dx （3）当0x 时，( )0F xP Xx当02x时，23031( )( )88xxF xP Xxf x dxx dxx 当2x 时，( )1F x .分布函数为30,0( ), 028 1,2xxF xxx .19设随机变量 (0,1)X上的均匀分布，Y参数为 1 的指数分布，且它们相互独立，(1)求 X 与 Y 的联合概率密度,(2)计算)(YXP解（1）X 概率密度为1,01
11、,( )0,.Xxfx 其他Y 概率密度为,0 ,( )0,.yYeyfy 其他因 X，Y 独立，故 X 与 Y 的联合概率密度为,01,0,( , )( )( )0,.yXYexyf x yfx fy 其他（2）1100),()(edyedxdxdyyxfYXPxyyx.20.某电脑公司组装的电脑所用的显示屏是由 3 家工厂提供的(数据见表)， 现从待出厂的电脑中任抽一台检验发现是次品(设为事件A),原因是显示屏有问题（1）求P(A)； （2）有问题的显示屏由哪家厂提供的可能性最大？显示屏制造厂提供份额次品率1230.150.600.250.030.010.02解设iB表示抽检的一台是由第
12、i 厂制造的，i=1,2,3.(1)112233( )() ()() ()() ()P AP A B P BP A B P BP A B P B0.03 0.150.01 0.60.02 0.250.0155(2)11 1() ()()0.290,( )P A B P BP B AP A22 2() ()()0.387,( )P A B P BP B AP A33 3() ()()0.323.( )P A B P BP B AP A21. 设随机变量X与Y的联合密度函数为.0)0(),(）他其（，yxceyxfy(1) 求常数c;(2) 求X与Y各自的边缘密度函数;(3)X与Y是否独立？为什么
13、？(4) P(X+2Y1).解(1) 由( , )1xoyf x y dxdy 平面，即01( , )yx xoyf x y dxdydxce dyc 平面，得1c；(2)(0),( )( , )0(0),x y Xxexfxf x y dye dyx0(0),( )( , )0(0)yyy Yyeyfyf x y dxe dxy；(3) X 与 Y 不独立，因为)()(),(yfxfyxfYX；1 221/30 21(4) 21( , )xyx xyP XYf x y dxdydxe dy11 321 32ee .22. 某工厂有 100 台机器，各台机器独立工作，每台机器的开工率为 0.8，工作时各需要 1kw 电力，问供电局至少要供应多少电力，才能以 97.5%的把握保证正常生产？解设 X 表示 100 台机器中开工的台数，则(100,0.8)XB.一台机器工作需要 1kw，x 台机器工作需要 xkw，故0.975P Xx，由中心极限定理，有100 0.8100 0.8100 0.80.975100 0.8 0.2100 0.8 0.2100 0.8 0.2XxxP XxP ，查标准正态分布表，得100 0.81.96100 0.8 0.2x，得 x=87.84.故供电局至少要供应 87.84(kw)电力.23. 设随机变量 X 与 Y 联合概率密度为1,01,02 ,(
