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1、1泰勒公式及其应用摘摘 要要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问 题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是 18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学
2、中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数f0xn构成一个次多项式n( ) 2000 0000()()()( )()()()() ,1!2!n n nfxfxfxT xf xxxxxxxnL称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有f0xf0xn即0( )( )() ),n nf xT xxx( ) 200 000000()()( )()()()()()() ).2!n nnfxfxf xf xfxxxxxxxxxnL称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研
3、究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题2化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二预备知识2.1 泰勒公式的定义定义 2.1 若函数在存在阶导数,则有
4、1( )f x0xn 200 000()()( )()()()1!2!fxfxf xf xxxxxL( ) 0 0()()( ),!n n nfxxxr xn（1）其中 0( )( )() )n nnr xr xo xx满足上述公式称为在点处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.( )f x0xx当=0 时,（1）式变成0x,称此式为(带有佩亚诺余)(!)0( ! 2)0( ! 1)0()0()()( 2 nnn xoxnfxfxffxfL项的)麦克劳林公式.3定义 2.2 若函数 在某邻域内为存在直至 阶的连续导数,则2( )f x0x1n, ( ) 200 00000()()( )()()()().
5、()( )2!n n nfxfxf xf xfxxxxxxxr xn（2）这里为拉格朗日余项,其中在与之间,( )nr x(1) 1 0( )( )()(1)!n n nfr xxxn x0x称（2）为在的泰勒公式.f0x当=0 时,（2）式变成0x( ) 2(0)(0)( )(0)(0).( )2!n n nfff xffxxxr xn称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：.12)!1(! 21 nxn xxne nxxxe L.)()!12() 1(! 5! 3sin221253 nn nxonxxxxxL.2462 2cos1( 1)()2!4!6!(2 )!n
6、nnxxxxxo xn L.231 1ln(1)( 1)()231n nnxxxxxo xn L，)(1112nnxoxxxxLL2 ! 2) 1(1)1 (xmmmxxm4定理 2.1(介值定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若3f,ba)()(bfaf为介于 与之间的任何实数,则至少存在一点,使得0)(af)(bf0x),(ba.00)(xf2.2 泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个次多项式来逼近函数.而多项式具有形式n( )f x简单，易于计算等优点.泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成，我( )f xn( )nP x0( )() )n nRxo xx们来详细讨论它们.当=1 时，
7、有 ，n1000( )()()()P xf xfxxx是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点( )yf x00(,()xf x( )yf x的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.00(,()xf x当=2 时，有，n20 20000()( )()()()()2!fxP xf xfxxxxx是曲线在点的“二次切线”，也称曲线在点( )yf x00(,()xf x( )yf x的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次00(,()xf x数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.2.3 泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型
8、余项，一类是拉格朗0() )no xx日型余项，它们的本质相同，但性质各异.(1)1 01( )()(1)!nnfxxn5佩亚诺型余项是定性的余项，仅表示余项是比（当0() )no xx0()nxx时）高阶的无穷小.如，表示当时，用0xx3 3sin()6xxxo x0x sin x近似，误差（余项）是比高阶的无穷小.36xx3x拉格朗日型余项是定量的余项（也可以写成(1)1 01( )()(1)!nnfxxn）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.00()xxx三泰勒公式的应用三泰勒公式的应用3.13.1 . .利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展
9、开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例 1. 求极限 . sin2limsincosxxxexxxxx0- 1-分析 ： 此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和, 0 0cosxsin x分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.xe解： 由1sin2xxexx-=233 331()()2626xxxxxo xxxo x+- 1-(-+,=343 33()()6126xxxo xo x+=+32 33sincos()(1()62xxxxxxo xxo x-=-+-+6=3 3()3xo x+于是，1sin2limsincosxxxexxxxx0-3 33 3
10、()16 2()3xo xxo x+ = +3.3. 2 2 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助 函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷. 例 1. 当时,证明.0x 31sin6xxx证明 取,则31( )sin6f xxxx00x (0)0,(0)0,(0)0,( )1 cos ,(0)0.ffffxx f 带入泰勒公式,其中=3,得n，其中.31 cos( )0003!xf xx10故当时,.0x 31sin6xxx例 2. 设在二次可导，而且，试求存( )f x0,1(0)(1)0ff 01lim( )1 xf
11、 x 在，使.(0,1)( )8f证： 由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，( )f x0,10,11x使，由费马定理知，.1()1f x 1()0fx7又2 1111( )( )()()()()2!ff xf xfxxxxx， （介于与之间）2 1( )1()2!fxx x1x由于，不令和，有(0)(1)0ff0x 1x ，21 1( )0(0)1(0)2ffx 所以，2 1112( )2(1) (1)fxx当时，而当时，可见与1112x2 128x1112x2 12(1)8x1( )f中必有一个大于或等于 8.2()f3.33.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性利用泰勒公式判
12、断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积敛散性时, 通常选取广义积分进行比较, 在此通过( ) af x dx1(0)padx px研究无穷小量的阶来有效地选中的值，从而简单地判( ) ()f xx 1padxxp定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得收敛）( ) af x dx( ) af x dx( ) af x dx.例 1. 研究广义积分的敛散性. 4(332)xxx dx解 ： 22(1)(1)1()2!xxxo x ( )332f xxxx11 2233(1)(1)2xxx222
13、23 19113 1911(1()(1()22828xooxxxxxx， 3/23/2911()4oxx 8因此，即是的阶，而收敛，3/2( )9lim14xf xx( )0f x 1()xx 3 23/241dxx故收敛，从而. 4( )f x dx4(332)xxx dx例 2 讨论级数的敛散性.111(ln)nn nn注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与11lnln(1)n nn1 n相呼应,会使判敛易进行.1 n解： 因为,2341111111lnln(1)234n nnnnnnnL所以,11ln1nn所以，11ln0nnunn故该级数是正项级数.又因为,3323323
14、22111111111111ln()()23422nonnnnnnnnnnnn所以9.33 22111111ln() 22nnunnnnnn因为收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3 1212nn3.43.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设内( )f x 在 a,b上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)是凹向的.( )0fx( )f x 在 a,b上12xx证明：设c0!所以 120()()()0f xf xf x+- 2可得 12 0()()()2f xf xf x+由任意性可得在足够小的区间上是凹向的再有 c，d 的任意性12xx，( )f x c,d得在内任意小的区间内都是凹向的，所以在区间是凹向( )f x a,b( )f x a,b的.10利用泰勒公式对极值的判定可相似的推出函数拐点的判定即: 若在某个内阶可导，且满足( )f x0(,
